Cerca de un equilibrio podemos aproximar un campo no lineal con una matriz. Aprenderemos cuándo esa matriz decide el comportamiento y cuándo deja preguntas abiertas. Calcularemos varios equilibrios de un mismo sistema, una variedad estable curva y ejemplos con la misma matriz lineal que terminan atrayendo o repeliendo.
Si necesitas repasar:
1. Antes de linealizar, comprobamos que el punto sea un equilibrio
C¹ no garantiza por sí solo un resto cuadrático. Por ejemplo R(x)=x√|x| cumple R(x)/|x|→0, pero |R(x)|/x² crece sin cota. Si z* no es un equilibrio, la expansión conserva además el término constante F(z*): h=0 ni siquiera será una solución fija.
Separar parte lineal y resto en un equilibrio
x′=−2x+x², alrededor de cero.
Equilibrio
F(0)=0.Derivada
F′(0)=−2.Resto
h′=−2h+h² y |h²|/|h|=|h|→0.
La parte lineal es h′=−2h y el resto es pequeño respecto de |h|.
Aquí el resto sí es cuadrático porque el campo concreto es polinómico; no se deduce solo de C¹.
Alrededor de un punto no fijo queda una fuerza constante
El mismo campo, ahora x*=1.
Valor
F(1)=−1, no cero.Cambio
x=1+h da h′=−1+h².Interpretar
h=0 tiene derivada −1 y abandona el punto.
No se puede clasificar x*=1 como un equilibrio con jacobiano cero.
El dato constante que quedó en la expansión impide aplicar un teorema de estabilidad de estados fijos.
2. Un mismo campo necesita un jacobiano evaluado en cada equilibrio
La entrada (i,j) de DF es la parcial de la componente i respecto al estado j. Cada columna describe cómo perturbar una variable modifica las tasas de todas las componentes. Calculamos primero las parciales y después sustituimos el equilibrio.
No se clasifica todo el sistema con una matriz evaluada en un único punto. Incluso un campo polinómico sencillo puede tener un sumidero y varias sillas.
El equilibrio del origen
F(x,y)=(−2x+y²,−y+xy).
Equilibrios
y(x−1)=0 y y²=2x dan (0,0),(1,√2),(1,−√2).Jacobi general
Sus filas son (−2,2y) y (y,x−1).
En cero
A=diag(−2,−1), con valores propios negativos.
El origen tiene una linealización de sumidero.
Se han resuelto ambas componentes para asegurar que el punto es realmente fijo.
Los otros dos equilibrios no tienen la misma clasificación
Evalúa el campo anterior en (1,±√2).
Sustituir
Las filas del jacobiano son (−2,±2√2) y (±√2,0).
Invariantes
Traza −2 y determinante −4.
Espectro
El determinante negativo da un valor positivo y otro negativo.
Ambos son sillas hiperbólicas.
La traza negativa no basta para llamarlos atractores: una dirección es expansiva.
3. Los signos estrictos de las partes reales dan conclusiones locales robustas
El criterio indirecto de Lyapunov afirma: si todas las partes reales de DF(z*) son estrictamente negativas, el equilibrio C¹ es localmente exponencialmente estable. Si alguna es positiva, es inestable. Si no hay positivas pero sí alguna cero, estos dos criterios no deciden.
La razón en el caso atractivo es que el decaimiento lineal domina un resto o(‖h‖) suficientemente cerca. Puede formalizarse con una función cuadrática adaptada a la matriz. En el ejemplo siguiente veremos esa dominación con una desigualdad explícita, sin necesitar la solución exacta.
Una comprobación directa del sumidero anterior
F=(−2x+y²,−y+xy), V=(x²+y²)/2.
Derivar
V̇=−2x²−y²+2xy².Región pequeña
Si |x|≤1/4, V̇≤−2x²−y²/2≤−V.Control
Un subnivel dentro de esa región permanece allí y V(t)≤e^(−t)V(0).
Hay atracción exponencial local, como anticipaba el jacobiano.
La norma queda acotada por e^(−t/2) veces la inicial; no se ha afirmado que todo el plano llegue al origen.
Un valor positivo decide incluso si otro es cero
x′=x, y′=−y³.
Jacobi
diag(1,0) en el origen.
Perturbación
Desde (η,0), la solución es (ηeᵗ,0).
Escape
η arbitrariamente pequeño acaba superando una tolerancia fija.
El origen es inestable.
No necesitamos que todos los autovalores sean no nulos para aplicar el criterio de una parte real positiva.
4. Hiperbolicidad permite comparar órbitas cercanas, con alcance local
Un equilibrio es hiperbólico si ninguna parte real de su jacobiano es cero. Hartman–Grobman relaciona el flujo local C¹ con el de la matriz mediante un homeomorfismo en vecindades del equilibrio. Un sumidero, fuente o silla hiperbólico mantiene su tipo cualitativo local.
La conclusión rige mientras las trayectorias permanecen en las vecindades consideradas. El teorema no garantiza por sí solo que el cambio sea diferenciable ni que conserve ángulos, distancias o que proporcione una fórmula global. En ejemplos especiales sí podemos encontrar un cambio explícito más regular.
Un cambio local que vuelve lineal una ecuación
x′=−x+x², cerca de cero.
Hiperbólico
F′(0)=−1.Cambio
u=x/(1−x), bien definido e invertible cerca de cero.Derivar
u′=x′/(1−x)²=−x/(1−x)=−u.
Aquí la comparación local se ve con una transformación explícita.
Su inversa es x=u/(1+u), y el cambio deja de ser válido al acercarse al punto x=1.
El sumidero local no atrae desde todos los datos
En esa misma ecuación, toma x(0)=2.
Solución
x(t)=1/[1−(1/2)eᵗ].Dato y ecuación
En cero vale dos y x′=x²−x.Extremo
La solución crece sin cota cuando t se acerca a ln2 por la izquierda.
La estabilidad local del origen no es una afirmación global.
El dato dos estaba fuera de la vecindad atractiva del equilibrio; el teorema local no lo controlaba.
5. Las variedades estables pueden curvarse respecto a las rectas propias
Para un equilibrio hiperbólico, los valores propios con partes negativas y positivas dan subespacios estables e inestables del sistema lineal. El teorema de la variedad estable los convierte en variedades locales del sistema no lineal tangentes a esos subespacios.
En una silla, converger permaneciendo cerca hacia el futuro exige estar sobre la variedad estable local. Estar sobre su recta tangente no basta. Podemos comprobar una candidata curva exigiendo que el campo sea tangente a ella y verificando después la evolución de sus datos.
Calcular la curva estable del dibujo
x′=−x, y′=y+x².
Parte lineal
A=diag(−1,1); la dirección estable es horizontal.Curva invariante
Si y=h(x), entonces h′(x)(−x)=h(x)+x².Ensayo
Con h=cx²: −2c=c+1, así c=−1/3.
La curva y=−x²/3 es invariante y tangente al eje x.
Sobre ella x=a e^(−t), y=−a²e^(−2t)/3, por tanto converge al origen.
Estar en la tangente no garantiza convergencia
Mismo sistema, dato (a,b).
Primera componente
x=a e^(−t).Segunda
Resolver y′−y=a²e^(−2t) da y=(b+a²/3)eᵗ−(a²/3)e^(−2t).Condición
Converge solo si b=−a²/3.Con b=0 y a no nulo, aparece un término creciente.
El conjunto estable exacto es curvo, aunque la matriz dé una recta tangente.
Podemos tomar a tan pequeño como queramos: el eje x sigue conteniendo datos cercanos que no están en la variedad estable.
6. Un jacobiano cero puede ocultar atracción o repulsión
La linealización de ambas es h′=0, que no contiene la información decisiva. El signo cúbico domina el movimiento cuando se anula el término lineal.
Si el campo apunta a cero desde ambos lados, puede haber estabilidad asintótica sin hiperbolicidad. Su rapidez de convergencia tampoco tiene que ser exponencial. Si apunta hacia fuera, perturbaciones arbitrariamente pequeñas se alejan, aunque la aproximación lineal se quede quieta.
El cúbico negativo atrae
x′=−x³, dato a.
Solución
x=a/√(1+2a²t), para t≥0.Control
Su valor absoluto no supera |a|.
Límite
Tiende a cero para cualquier a, con velocidad algebraica.
El origen es globalmente asintóticamente estable.
Para a=0 la fórmula da el equilibrio; para a no nulo, el signo se conserva.
El cúbico positivo repele
x′=x³, dato a no nulo.
Solución
x=a/√(1−2a²t).Intervalo futuro
Existe hasta 1/(2a²), donde el módulo crece sin cota.
Inestabilidad
Todo dato no nulo, incluso arbitrariamente pequeño, acaba saliendo de un radio fijo.
El mismo jacobiano cero acompaña ahora un equilibrio inestable.
La conclusión viene del término cúbico y la fórmula, no de un criterio lineal que aquí no decide.
7. Los valores imaginarios puros tampoco garantizan un centro no lineal
Los términos cúbicos no cambian el jacobiano en cero, que siempre es el de un giro con autovalores ±i.
Las fórmulas muestran dos retratos opuestos con idéntica parte lineal.
Signo negativo: espiral que atrae
σ=−1.
Radio
r=r₀/√(1+2r₀²t).Ángulo
Sigue girando con velocidad uno.
Conclusión
La norma decrece y tiende a cero para todo dato, con decaimiento algebraico.
El origen es globalmente asintóticamente estable y no es un centro de órbitas cerradas.
La matriz lineal solo describía el giro; los términos de orden tres añadieron la contracción.
Signo positivo: espiral que sale
σ=1.
Radio
r=r₀/√(1−2r₀²t).Futuro
Si r₀>0, crece hasta explotar en tiempo 1/(2r₀²).Conclusión
Hay datos arbitrariamente cercanos que abandonan el entorno.
El origen es inestable con los mismos valores ±i.
El signo de los cúbicos decidió lo que el espectro sobre el eje imaginario no podía decidir.
8. Lyapunov y LaSalle aportan información donde el espectro no basta
Una V C¹ positiva fuera del equilibrio y nula en él controla vecindades mediante sus subniveles. V̇=∇V·F≤0 demuestra estabilidad, y si es estrictamente negativa fuera, el teorema de Lyapunov da atracción local. Para ampliar a todo el espacio, comprobamos que los subniveles sean compactos y las trayectorias permanezcan en ellos.
Con derivada semidefinida puede haber atracción o no. LaSalle, en una región compacta positivamente invariante, dirige el comportamiento límite al mayor conjunto invariante contenido en {V̇=0}. Si ese conjunto es solo el equilibrio, permite concluir convergencia. Una cantidad que disminuye sin controlar distancia ni invariancia no basta.
Una función estricta para una matriz lineal completamente nula
x′=−x³,y′=−y³; V=(x²+y²)/2.
Positiva y propia
Sus subniveles son discos compactos.
Derivar
V̇=−x⁴−y⁴<0 fuera de cero.Control
x⁴+y⁴≥(x²+y²)²/2=2V², así V̇≤−2V².
El origen es globalmente asintóticamente estable.
El descenso y los subniveles impiden explosión; la estimación produce decaimiento algebraico aun con jacobiano cero.
LaSalle completa una derivada que se anula en toda una recta
x′=y,y′=−x−y; V=(x²+y²)/2.
Derivada
V̇=xy+y(−x−y)=−y².Conjunto cero
V̇=0 sobre y=0, pero allí y′=−x; para permanecer en esa recta debe ser x=0.
Invariancia
Los subniveles compactos son invariantes y el mayor conjunto invariante de {V̇=0} es el origen.
LaSalle da convergencia al origen desde cualquier dato.
En un centro con V̇=0 en todas sus órbitas, ese conjunto invariante sería mucho mayor y la conclusión de atracción no se seguiría.
9. Un parámetro puede crear equilibrios y cambiar su estabilidad
Para μ<0 solo está cero y su derivada μ es negativa. En μ=0 sigue atrayendo por el cúbico, aunque deja de ser hiperbólico.
En cero la derivada es positiva, mientras que en las nuevas ramas vale μ−3μ=−2μ<0. El retrato cambia al pasar por un autovalor cero: es una bifurcación. Este ejemplo concreto tiene tres ramas y no constituye una clasificación de todas las bifurcaciones posibles.
Seguir el origen al cruzar el parámetro cero
Compara μ=−1,0,1.
Negativo
x′=−x−x³ tiene derivada −1 en cero y atracción hiperbólica.Cero
x′=−x³ atrae sin hiperbolicidad.Positivo
x′=x−x³ tiene cero inestable y dos equilibrios atractivos en ±1.
El tipo del origen cambia al cruzar cero, y aparecen dos estados nuevos.
La derivada nula en el valor crítico exigía estudiar el cúbico, no asignar una etiqueta automática.
Clasificar todas las ramas para un valor concreto
μ=4.
Ceros
x=0,2,−2.Derivadas
F′=4−3x²: en cero vale cuatro; en ±2 vale −8.Signos
Los datos positivos se dirigen a dos y los negativos a menos dos; el dato cero permanece fijo.
Cero repele; ±2 atraen, cada uno en su lado.
El signo se conserva por unicidad y las flechas de los intervalos entre equilibrios justifican las cuencas positivas y negativas.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Logística local
Clasifica los equilibrios de y′=y(1−y).
Ceros
y(1−y)=0 da cero y uno.Regularidad
El campo es polinómico y C¹ alrededor de ambos.
Jacobi escalar
F′(y)=1−2y; en cero vale uno y en uno menos uno.
Cero
Derivada positiva: hiperbólico e inestable.
Uno
Derivada negativa: hiperbólico y asintóticamente estable localmente.
Signos y resto
Alrededor de cero aleja por ambos lados; alrededor de uno atrae. Con y=1+h, h′=−h−h² y el resto dividido por |h| tiende a cero. No se deduce atracción desde todos los datos reales.
0 repele; 1 atrae localmente.
Escribir y=1+h da h′=−h−h², con resto de orden menor que |h|. Confirma la linealización atractiva sin convertirla en afirmación para todos los datos reales.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una función de Lyapunov
Estudia x′=−x³ con V=x²/2.
Equilibrio
El único cero de −x³ es cero y la derivada allí es cero; la linealización no decide.
Función
V=x²/2 es nula en cero y positiva fuera; controla |x| con sus subniveles.
Cadena
V̇=x(−x³)=−x⁴.Signo estricto
Es negativa fuera del equilibrio, cumpliendo el criterio estricto de Lyapunov.
Conclusión
El origen es asintóticamente estable.
Alcance global
Los subniveles son compactos y x=a/√(1+2a²t) existe para todo t≥0 y converge para todo dato a. La convergencia es algebraica.
Origen asintóticamente estable.
El signo de −x³ apunta hacia cero en ambos semiejes. La fórmula exacta confirma convergencia algebraica y muestra por qué un autovalor nulo no implica inestabilidad.
Los símbolos que hemos usado
- F∈C¹
- Campo con derivadas primeras continuas en un entorno abierto del equilibrio.
- h=x−x*
- Perturbación del estado respecto al equilibrio x*.
- A=DF(x*)
- Jacobiano del campo evaluado en el equilibrio, matriz de linealización.
- R(h)=o(‖h‖)
- Resto con ‖R(h)‖/‖h‖→0 cuando h→0.
- Hiperbólico
- Equilibrio cuyo jacobiano no tiene ningún autovalor de parte real cero.
- V̇=∇V·F
- Derivada de una función V a lo largo de trayectorias del sistema.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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