EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Con k=−2, calcula v_g.
- PISTA 1
Una pista
Usa 2k.
Un desarrollo posible.
- La velocidad de grupo del modelo es v_g=2k.
- Sustituimos k=−2.
- v_g=2·(−2)=−4, un movimiento de grupo hacia la izquierda.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Con k=4, calcula ω.
- PISTA 1
Una pista
Usa k².
Un desarrollo posible.
- La relación es ω=k².
- Para k=4, el cuadrado es 4·4.
- ω=16.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuál es |e^(−itk²)| para t,k reales?
- PISTA 1
Una pista
Es una exponencial de argumento imaginario puro.
Un desarrollo posible.
t y k son reales, de modo que −tk² es real.
Una exponencial eⁱθ con θ real tiene módulo uno porque cos²θ+sin²θ=1.
- Por tanto |e⁻ⁱᵗᵏ²|=1.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Verifica la relación ω=k² sustituyendo una onda plana.
- PISTA 1
Una pista
Calcula ambos términos de la EDP.
Un desarrollo posible.
- Tomamos u=eⁱ⁽ᵏˣ⁻ωᵗ⁾ y calculamos uₜ=−iωu.
- Multiplicar por i da i uₜ=ωu; derivar dos veces en x da uₓₓ=−k²u.
- La ecuación queda (ω−k²)u=0.
Como la exponencial nunca se anula, se cumple exactamente cuando ω=k².
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué una onda plana no es L²(R).
- PISTA 1
Una pista
Su módulo es constante.
Un desarrollo posible.
Para la onda plana no nula eⁱᵏˣ, el módulo al cuadrado es uno en cada punto real.
Su norma L² al cuadrado sería ∫R1 dx, que diverge.
Por tanto no pertenece a L²(R), aunque sí pueda interpretarse como una distribución temperada.
El cálculo de la relación de dispersión describe una frecuencia; para energía finita se usan paquetes o datos cuadrado integrables.