Un paquete de ondas puede ensancharse y bajar de altura sin perder su norma total. Eso es posible porque sus frecuencias acumulan fases distintas. Vamos a separar velocidad de una cresta, velocidad del paquete y conservación antes de estudiar la parte no lineal.
Si necesitas repasar:
1. La relación de dispersión dice cómo evoluciona cada frecuencia
Una onda plana tiene forma 
. k es la frecuencia espacial y ω la temporal.
A eso llamamos velocidad de fase.
Un paquete mezcla frecuencias cercanas a k₀. Al desarrollar ω cerca de k₀, el término lineal desplaza su envolvente a velocidad ω′(k₀), llamada velocidad de grupo. En varias dimensiones es ∇ω. La curvatura de ω ayuda a que frecuencias cercanas se separen; oscilar no implica por sí solo ensancharse.
Un modelo que traslada sin ensanchar
ω(k)=ck con c constante.
Fase
Para k≠0, ω/k=c.Grupo
ω′(k)=c en todas las frecuencias.Comparar
Todos los componentes viajan a la misma velocidad: un perfil puede trasladarse sin cambiar de forma.
La linealidad de ω produce transporte uniforme.
La aparición de una fase oscilatoria no basta para concluir dispersión.
Dos frecuencias con distinta velocidad de grupo
ω(k)=k², cerca de k=1 y cerca de k=2.
Derivar
ω′(k)=2k.Valores
Las velocidades de grupo son dos y cuatro.
Separación
Los centros de paquetes estrechos en frecuencia pueden alejarse uno del otro.
La velocidad depende de la frecuencia.
El movimiento exacto de un paquete requiere también sus amplitudes y su anchura frecuencial.
2. En Schrödinger libre el signo fija la dirección de la fase
Una frecuencia negativa tiene velocidad de grupo negativa, aunque ω sea no negativa.
Con transformada espacial de fase e elevado a −ixξ, la ecuación en Rⁿ es i∂ₜû−|ξ|²û=0.
.Una onda plana en toda Rⁿ no es L²; sirve para comprobar el símbolo como función suave o distribución.
Una frecuencia positiva
k=3.
Frecuencia temporal
ω=3²=9.Cresta
v de fase=ω/k=9/3=3.Paquete
v de grupo=ω′(3)=2·3=6.
Frecuencia temporal, velocidad de fase y velocidad de grupo son tres magnitudes distintas.
Las dos velocidades no se intercambian aunque salgan de la misma curva.
Una frecuencia negativa
k=−2.
Frecuencia temporal
ω=(−2)²=4.Fase
ω/k=4/(−2)=−2.Grupo
2k=−4.
El grupo se mueve hacia valores decrecientes de x.
La no negatividad de ω no obliga a que las velocidades sean positivas.
3. Dispersar no es disipar la norma L dos
El multiplicador e elevado a −it|ξ|² tiene módulo uno.
Se obtiene un grupo unitario, continuo en tiempo en L², con U(t+s)=U(t)U(s) y U(−t)=U(t)*. Para un dato H¹ se conserva también la norma del gradiente.
El calor tiene multiplicador e elevado a −t|ξ|²: amortigua las frecuencias altas y pierde norma L². En Schrödinger puede bajar la altura de la solución al distribuir su masa en una zona más amplia. La reversibilidad y la conservación de norma no implican que se mantenga la forma espacial.
Conservar una norma dada
||u₀||₂=5 en la evolución libre.
Fourier
Cada coeficiente se multiplica por un número de módulo uno.
Plancherel
La integral de su módulo al cuadrado no cambia.
Norma
Al tomar raíz, ||u(t)||₂=5 en todo tiempo.
La norma se conserva.
No hemos concluido que ||u(t)||∞ sea cinco ni que permanezca constante.
El contraste con el calor
Comparar una frecuencia ξ con |ξ|²=4 a tiempo t=1.
Schrödinger
El factor es e elevado a −4i y tiene módulo uno.
Calor
El factor es e⁻⁴, menor que uno.
Interpretar
El primero cambia fase; el segundo reduce amplitud de esa frecuencia.
Cambiar fase y amortiguar son mecanismos diferentes.
Una frecuencia aislada en la recta no es un dato L²; la comparación lee los multiplicadores.
4. Una gaussiana exacta permite medir altura, anchura y masa
La solución es 
, con la raíz continua que vale uno en t=0. Se puede comprobar derivando o calcular por Fourier gaussiana.
Su anchura característica es σD, la altura de la densidad es D⁻¹ y su integral σ√π. Al multiplicar el dato por eⁱᵏ⁰ˣ, aparece además un desplazamiento del centro a 2k₀t, con su fase correspondiente.
Ensanchar sin cambiar el área
σ=1, comparar t=0 y t=1.
Factor
D pasa de uno a √5.
Perfil
La anchura pasa de uno a √5 y la altura de la densidad de uno a 1/√5.
Integral
El producto altura por anchura conserva el factor gaussiano: ∫|u|²=√π.
La densidad se ensancha y baja sin perder masa L².
La norma ||u||₂ es π¹ᐟ⁴; √π es su cuadrado.
Mover un paquete además de ensancharlo
Dato e elevado a 2ix por exp(−x²/2).
Centro de frecuencia
k₀=2.Grupo
La velocidad del centro es 2k₀=4.Tiempo
En t=1 su centro está en x=4; la anchura sigue creciendo como en la gaussiana sin modular.
Traslación y ensanchamiento pueden ocurrir a la vez.
La modulación tiene módulo uno, así que no cambia la densidad inicial.
5. Una cota puntual necesita integrabilidad adicional del dato
En Rⁿ y t≠0, el núcleo de U(t) es 
, interpretado con la fase y regularización oscilatoria apropiadas. Su módulo es (4π|t|)⁻ⁿᐟ².
El núcleo no es absolutamente integrable en toda la recta o espacio sin el dato. Interpolar con unitariedad produce otras cotas. En un toro las recurrencias y la geometría de frecuencias impiden copiar sin cambios este decaimiento global en tiempo.
Leer una tasa de decaimiento
En una dimensión y con ||u₀||₁=2.
Cota
||u(t)||∞≤2/√(4π|t|).Dos tiempos
Al multiplicar |t| por cuatro, el lado derecho se divide entre dos.
Interpretar
La cota mejora a tiempos grandes; no es una fórmula de igualdad para cada dato.
La dimensión determina el exponente temporal.
En t=0 la expresión diverge y no se usa como una cota inicial uniforme.
Un dato L dos puede no ser L uno
g(x)=(1+|x|)⁻³ᐟ⁴.
Cuadrado
|g|² tiene cola de potencia −3/2, integrable en la recta.
Sin cuadrar
La cola de g tiene potencia −3/4 y no es integrable.
Resultado
g∈L² pero g∉L¹: unitariedad sí se aplica, la cota anterior con ||g||₁ finita no.
Cada estimación requiere su propio espacio de datos.
No se concluye que la solución de este dato sea necesariamente no acotada en todo tiempo.
6. Strichartz controla juntas las variables de tiempo y espacio
La norma Lᑫ del tiempo con valores en Lʳ del espacio integra cuánto y durante cuánto se concentra la solución. Para Schrödinger libre en Rⁿ, los pares admisibles cumplen 2≤q,r≤∞ y 2/q+n/r=n/2, excluyendo (q,r,n)=(2,∞,2).
La relación de exponentes refleja la escala; el teorema usa dispersión y dualidad, y no se reduce a sumar cotas puntuales con un exponente arbitrario. El par (∞,2) es la conservación de energía. Las versiones forzadas de Duhamel emplean pares y exponentes duales con las restricciones correspondientes.
Comprobar un par en tres dimensiones
q=2 y r=6.
Tiempo
2/q=1.Espacio
n/r=3/6=1/2.Sumar
1+1/2=3/2=n/2; el triple no es el excluido.
El par (2,6) es admisible en dimensión tres.
La conclusión mezcla norma L² temporal con L⁶ espacial.
El extremo que la cuenta de escala no basta para aceptar
n=2, q=2 y r=∞.
Escala
2/q+n/r=1+0=1=n/2.Restricción
Es precisamente el triple (2,∞,2), excluido del teorema.
Alternativa
En n=2, q=r=4 sí cumple la relación y no está excluido.
Pasar la igualdad algebraica no elimina la excepción analítica.
En dimensión uno el par (4,∞) sí es admisible para el modelo libre.
7. Otra fase produce otras velocidades y otras tasas
KdV añade un término no lineal como 6uuₓ.
En una dimensión, cada rama puede trasladar un perfil sin el ensanchamiento de Schrödinger; en dimensiones mayores interviene la separación de direcciones. Hay que mirar fase, dimensión y norma en cada modelo.
Cuidar el signo de una tercera derivada
Airy con k=2.
Derivadas
(ik)³=−ik³, no +ik³.Relación
ω=−2³=−8.Grupo
ω′(2)=−3·2²=−12.
Cambiar el signo de la ecuación cambiaría la fase.
La tasa cúbica tampoco se reemplaza por la tasa cuadrática de Schrödinger.
Una onda que mantiene su forma
u(x,t)=g(x−t), g suave, para uₜₜ−uₓₓ=0.
Tiempo
uₜₜ=g″(x−t).Espacio
uₓₓ=g″(x−t).Cancelar
La ecuación se cumple y el perfil solo se desplaza.
Una evolución ondulatoria no obliga a que cada perfil se ensanche.
Este ejemplo es unidimensional y no afirma ausencia de decaimiento geométrico en dimensiones mayores.
8. La fórmula integral separa evolución libre e interacción no lineal
.La integral registra lo que aporta la interacción en cada tiempo y después propaga ese aporte.
Buscar un punto fijo necesita espacios y estimaciones dependientes de n,p,s y de la regularidad de la potencia. Para soluciones suficientemente regulares se conservan masa y energía E=∫|∇u|²/2+μ∫|u|ᵖ⁺¹/(p+1). Si μ>0 ambos términos son no negativos; con μ<0 la energía puede dejar de controlar el gradiente.
Recuperar el caso libre
μ=0 en Duhamel.
Integral
El factor μ hace cero todo el término no lineal.
Solución
Queda u(t)=U(t)u₀.Comprobar
Se recuperan grupo y conservación L² del modelo lineal.
La fórmula conserva el signo −iμ que corresponde a la ecuación elegida.
Con μ≠0 no basta aplicar el decaimiento libre directamente a toda la solución.
Una solución homogénea no lineal
En un toro, dato constante complejo A.
Espacio
Δu=0 para una función constante en x.Propuesta
u(t)=A exp(−iμ|A|ᵖ⁻¹t).Sustituir
i uₜ=μ|A|ᵖ⁻¹u y |u|=|A|; satisface la ecuación.
Puede cambiar la fase sin cambiar el módulo.
En toda Rⁿ una constante no nula no es L²; aquí se ha especificado el toro.
9. La escala y las cantidades conservadas no resuelven solas el problema global
La transformación NLS es 
.
Conservar una cantidad no garantiza por sí solo regularidad global en un régimen que no controla. En el caso focalizante pueden existir perfiles persistentes y explosión bajo hipótesis específicas. Scattering significa aproximarse, en una norma declarada, a U(t)u₊ al tender t a infinito; es una conclusión adicional, no un sinónimo de existir.
Comparar dos potencias en dimensión tres
NLS cúbica p=3 y quíntica p=5.
Cúbica
s꜀=3/2−2/2=1/2.Quíntica
s꜀=3/2−2/4=1.Interpretar
La quíntica es crítica para energía; las dos no tienen el mismo orden crítico.
La dimensión y la potencia deben entrar juntas en la cuenta.
Esta clasificación de escala no demuestra un resultado global para todos los datos.
Un perfil focalizante que no se ensancha
En una dimensión, μ=−1, p=3 y Q(x)=√2 sech(x).
Identidad
Q″−Q+Q³=0, como se comprueba derivando sech.Solución
u=eⁱᵗQ da i uₜ+uₓₓ=eⁱᵗ(−Q+Q″)=−eⁱᵗQ³.Módulo
|u(x,t)|=Q(x), localizado y fijo; no obedece el decaimiento puntual del propagador libre.
Es una onda estacionaria no lineal de masa finita.
No contradice la cota libre: la ecuación incluye una interacción focalizante.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una frecuencia
Para k=3 en Schrödinger libre, calcula ω y v_g.
Ecuación
Fijamos i uₜ+uₓₓ=0 y una onda de fase kx−ωt.Relación
La sustitución da ω−k²=0, por tanto ω=k².Dato
k=3.Frecuencia
ω=3²=9.Grupo
v de grupo=dω/dk=2k=6.Distinguir
La velocidad de fase sería ω/k=3.El resultado pedido es ω=9 y v de grupo=6.
ω=9 y v_g=6.
La velocidad de fase sería 3.
EJEMPLO RESUELTO 2
Norma conservada
Si ||u₀||₂=5 en la evolución libre, calcula ||u(t)||₂.
Dato
||u₀||₂=5 en la evolución libre sobre Rⁿ.Propagador
û(t,ξ)=e elevado a −it|ξ|² por û₀(ξ).Módulo
La exponencial tiene módulo uno para t y ξ reales.
Cuadrado
La integral de |û(t,ξ)|² es la misma que inicialmente.
Plancherel
Esto conserva la norma L² de u en el espacio.
Resultado
||u(t)||₂=5 para todo t.No implica que la norma suprema ni la forma del perfil sean constantes.
La norma sigue siendo 5.
No implica que la norma supremo sea constante.
Los símbolos que hemos usado
- u(t,x)
- Función compleja en tiempo real t y posición x∈Rⁿ, salvo que se indique otro dominio.
- e^i(x·ξ−ωt)
- Onda plana que fija los signos de la relación de dispersión ω=ω(ξ).
- v_f=ω(k)/k
- Velocidad de fase en una dimensión para k≠0.
- v_g=∇ξω
- Velocidad de grupo de un paquete concentrado cerca de una frecuencia.
- U(t)=e^itΔ
- Propagador de i uₜ+Δu=0; su multiplicador es e^−it|ξ|².
- ||u||Lᑫ_tLʳ_x
- Norma que toma Lʳ en espacio y después Lᑫ en tiempo; los exponentes se eligen según la ecuación.
- μ, p
- En NLS, i uₜ+Δu=μ|u|^(p−1)u; μ=1 es defocalizante y μ=−1 focalizante, con p>1.
- s_c=n/2−2/(p−1)
- Orden crítico de Sobolev homogéneo para la escala de esa NLS.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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