Navier–Stokes y problemas de fluidos

u(x,t) es la velocidad del fluido en el lugar x y tiempo t.

Al derivar por la regla de la cadena, su aceleración es uₜ+(u·∇)u evaluada sobre la trayectoria. El segundo término aparece porque la partícula visita lugares diferentes.

Con densidad constante positiva se reduce a div u=0. Para un campo suave, el jacobiano J del movimiento satisface J′=(div u)J: con J inicial uno, la divergencia cero conserva volumen. No obliga a que el fluido esté quieto ni a que el campo sea constante.

Normalizamos la densidad a uno y tomamos viscosidad constante ν>0. El modelo es . u tiene n componentes, p es presión y f fuerza externa. El dato inicial u₀ debe cumplir la restricción de divergencia.

Usaremos principalmente un toro, con campos periódicos y sin pared: las caras opuestas cancelan los términos de borde. En un recipiente, una pared inmóvil con condición de no deslizamiento impone u=0. En todo Rⁿ se necesitan integrabilidad y comportamiento apropiado en infinito. Las identidades globales dependen de ese marco.

Tomar divergencia de la ecuación y usar div u=0 da . La presión responde al campo de velocidades en todo el dominio. En el toro queda determinada salvo una constante espacial que puede depender del tiempo; se suele imponer media cero.

La proyección de Leray P elimina los gradientes y deja uₜ+P div(u⊗u)=νΔu+Pf. En una frecuencia ξ≠0, su matriz es I−ξ⊗ξ/|ξ|²: conserva la parte perpendicular a ξ y quita la paralela. La frecuencia cero representa la velocidad media y se trata aparte.

Supongamos primero u y p suaves y periódicos.

Multiplicar la ecuación por u e integrar da . La elección de E explica el factor dos al despejar E′.

El transporte integra cero porque u·(u·∇)u=div(u|u|²/2) cuando div u=0.

Se han usado periodicidad e incompresibilidad en lugares precisos.

Esto controla u en L∞ temporal con valores L² espacial y el gradiente en L² de espacio y tiempo. No proporciona una cota puntual de ∇u ni todas las derivadas superiores.

Si es cero, Poincaré permite acotar ||∇u||₂² por una constante positiva por E y obtener decaimiento exponencial. Con media no nula, una traslación constante tiene gradiente cero y no se disipa. La viscosidad actúa sobre variaciones espaciales.

En dimensión dos o tres, para dato u₀∈L² de divergencia cero, el problema periódico sin fuerza admite solución global de Leray–Hopf. En cada intervalo finito tiene u∈L∞ₜL²ₓ∩L²ₜH¹ₓ, continuidad débil L² y el dato inicial en el sentido adecuado. Satisface una desigualdad de energía.

La ecuación se prueba contra campos suaves de divergencia cero; la presión desaparece. Galerkin retiene un número finito de modos y da ecuaciones diferenciales para sus coeficientes. La energía acota las aproximaciones, pero para pasar u⊗u se necesita compacidad adicional. Convergencia débil y semicontinuidad no conservan automáticamente las normas ni los productos.

Con dato periódico suficientemente suave y de divergencia cero hay solución suave única al menos durante un intervalo inicial.

Mientras existe esa solución, satisface igualdad energética y coincide con una de Leray–Hopf con el mismo dato: unicidad débil–fuerte.

Para continuar una solución suave basta, por ejemplo, controlar ∫₀ᵀ||∇u(t)||∞dt en el marco periódico sin fuerza. Al estimar derivadas se obtiene d||u||Hˢ²/dt≤C||∇u||∞||u||Hˢ² después de descartar disipación favorable. Grönwall explica por qué una integral finita impide que esa norma explote antes de T.

Probar con ω da la disipación de ||ω||₂²/2 sin un término de estiramiento. Esta estructura y las estimaciones que recuperan u permiten la teoría suave global bidimensional.

En tres dimensiones, ω=curl u es vectorial y cumple . El producto de (ω·∇)u con ω no tiene signo favorable. Puede aumentar la enstrofía, y no se cierra el argumento bidimensional de la misma manera.

En R³, sin fuerza, uλ(t,x)=λu(λ²t,λx) y pλ=λ²p(λ²t,λx) conservan el sistema con la misma viscosidad.

L³ es invariante; L² escala como λ⁻¹ᐟ². Una estructura más concentrada puede tener menor norma energética sin menor amplitud.

Poner ν=0 da formalmente Euler, pero justificar un límite de viscosidad exige estimaciones; las paredes pueden producir capas límite. Fluidos compresibles, superficies libres y turbulencia añaden problemas que esta introducción no resuelve.

Comprobación del 4 de noviembre de 2026: Clay mantiene el problema en la categoría Active. Su comunicado del 11 de septiembre anuncia que se está evaluando un avance y describe un proceso sin resolución apresurada. Aquí se distinguen ese estado institucional, el enunciado exacto y los teoremas usados; nuestros ejemplos no deciden el premio.

Las alternativas oficiales incluyen diferentes condiciones sobre fuerzas y dominios.

Los términos se equilibran y el campo es estacionario sin fuerza. No es periódico ni pertenece a L²(R²), de modo que no usamos con él un balance global finito del toro.

Su primera componente no depende de x y la segunda es cero; el término convectivo se anula.

Una presión constante basta: esta solución muestra disipación exacta dentro del marco periódico.