Soluciones débiles y métodos de energía

Multiplicamos por una función de prueba v que también vale cero en los extremos. Integrar por partes da ∫₀¹(−u″)v=∫₀¹u′v′: el término de borde −[u′v]₀¹ desaparece porque v se anula allí.

La igualdad solo necesita una derivada débil cuadrado integrable de u.

Primero se obtiene para pruebas suaves compactas y, por densidad y continuidad, para todas las de H¹₀(Ω). No es pedir la igualdad solo frente a una prueba elegida.

H¹(Ω) reúne funciones y primeras derivadas débiles en L². H¹₀(Ω) es el cierre de las funciones suaves de soporte compacto en la norma H¹. En un dominio Lipschitz tiene traza cero: esa es la forma precisa de imponer Dirichlet a funciones que quizá no tengan valores puntuales continuos.

Con frontera u=g se elige una extensión G∈H¹ del dato admisible y se busca u=G+w con w∈H¹₀. La ecuación de w tiene segundo miembro F(v)−a(G,v). Para Neumann las pruebas pertenecen a H¹; el término de flujo de la frontera se conserva, y aparecen constantes que habrá que controlar.

Por ello ||v||V=||∇v||₂ es una norma completa equivalente a H¹ en V=H¹₀. No se anula sobre una constante no nula del espacio, porque tal constante no tiene traza cero.

El dual continuo V′ se denota H⁻¹(Ω). Para f∈L², el funcional F(v)=∫fv es continuo: Cauchy–Schwarz y Poincaré dan |F(v)|≤Cₚ||f||₂||v||V. H⁻¹ también permite datos que no sean funciones L²; siempre hay que comprobar continuidad en la norma de pruebas elegida.

Para todo F∈V′ existe una única u∈V con a(u,v)=F(v) para toda v.

No se exige simetría.

Para −div(A∇u)+cu=f con frontera cero, basta A acotada, medible y uniformemente elíptica, y c acotada no negativa. El producto ξ·A(x)ξ≥λ|ξ|² controla el gradiente; la parte antisimétrica no contribuye a ese producto. Existencia débil no significa todavía segundas derivadas continuas.

Una vez extendida la identidad a todo V, podemos tomar v=u.

Así sale el control sin resolver la ecuación.

Para dos soluciones con la misma forma a, restamos las identidades y probamos con w=u₁−u₂.

La solución depende continuamente del dato y, con dato idéntico, es única. Las condiciones homogéneas permiten que la diferencia pertenezca a V.

Si a es simétrica, J(v)=a(v,v)/2−F(v) tiene como minimizador único a la solución. Al escribir v=u+w, la ecuación cancela los términos lineales y queda J(u+w)−J(u)=a(w,w)/2. Si a no es simétrica, esta energía solo ve su parte simétrica y no recupera por sí sola toda la ecuación.

En un subespacio finito Vₙ buscamos uₙ con a(uₙ,v)=F(v) para todo v∈Vₙ.

La coercividad asegura solvencia y el lema de Céa da error ≤(M/α) por el mejor error de aproximación. Si los espacios aproximan densamente V, las soluciones convergen.

Para uₜ−Δu=f con frontera cero, multiplicar por u da . Con f=0 la norma L² no crece y se controla la integral temporal del gradiente. Si f∈V′, Young permite absorber una parte del término de gradiente y acotar el resto por ||f||V′².

En el marco débil V⊂H=L²⊂V′, u∈L²(0,T;V) y uₜ∈L²(0,T;V′) tienen representante continuo con valores en H y justifican la regla de derivación de la norma. No escribimos uₜ como una función puntual sin justificarlo. En nociones más débiles puede quedar una desigualdad de energía.

Para uₜₜ−Δu=0 con frontera fija, la prueba natural es uₜ: la derivada de ||uₜ||₂²/2 se suma a la de ||∇u||₂²/2 y da cero. La primera es energía cinética; la segunda, elástica. No se afirma que cada una sea constante por separado.

Este cálculo es inmediato para soluciones suficientemente regulares y frontera sin flujo de energía. Para soluciones de energía se justifica por aproximaciones y límites en espacios adecuados; uₜ no pertenece automáticamente al espacio de pruebas en cualquier noción débil. Con fuerza, la derivada de la energía recoge su trabajo.

En Neumann las constantes tienen gradiente cero. Probar con v=1 exige compatibilidad del dato: para −Δu=f y flujo exterior cero, ∫Ωf=0. En un dominio conexo se fija además la media de u para eliminar la libertad de sumar constantes. La norma del gradiente en todo H¹ no era una norma.

Una forma continua puede no ser coerciva, y entonces Lax–Milgram no se aplica directamente. Tampoco una cota H¹ demuestra H² ni permite pasar un producto no lineal arbitrario a través de convergencia débil. La regularidad y la compacidad que necesita cada paso se estudian por separado.