En el modelo, si m=3, ¿qué orden H^(m+2) se obtiene?
Suma dos.
La regularidad del modelo es Hᵐ⁺² local.
La conclusión es H⁵_loc y el número pedido es 5.
Para u=(x−x³)/6 en (0,1), calcula −u″ en x=1/2.
La ecuación da −u″=x.
Si f∈L²=H⁰, ¿cuántas derivadas Sobolev locales se ganan para Poisson?
Usa m=0.
Poisson añade dos órdenes de Sobolev bajo las hipótesis interiores del modelo.
Se obtiene H²_loc: se ganan dos derivadas débiles cuadrado integrables.
Explica por qué una estimación interior no es una estimación global.
El conjunto interior no llega al borde.
Una estimación interior controla u en V mediante datos en un abierto mayor U con V⊂⊂U.
Los cortes utilizados tienen derivadas que aumentan cuando disminuye la distancia entre V y el borde de U; la constante puede deteriorarse.
Para llegar a ∂Ω se necesitan regularidad geométrica y condiciones de contorno adecuadas.
El ejemplo del sector reentrante muestra que datos suaves no eliminan una singularidad de borde.
Prueba que toda solución clásica de −u″=x en un intervalo tiene la forma indicada.
Integra dos veces y conserva las constantes.
Integrar de nuevo da u=−x³/6+Ax+B; las dos constantes describen todas las soluciones clásicas.