Haber encontrado una solución débil no nos dice cuántas veces se puede derivar. Regularidad significa obtener esa información usando la ecuación. Veremos por qué el Laplaciano puede ganar dos derivadas, qué cambia cerca del borde y cómo detectar una hipótesis que falta.
Si necesitas repasar:
1. Existir y tener más derivadas son dos preguntas distintas
Una solución u∈H¹ tiene primeras derivadas débiles en L². Para leer −Δu=f no necesitamos que sus segundas derivadas sean inicialmente funciones: la igualdad puede ser distribucional. El resultado de regularidad demuestra que esa misma u pertenece a un espacio mejor; no construye una solución diferente.
El Laplaciano controla todas las direcciones.
Esa es la idea de elipticidad. Un operador de segundo orden que ignore una dirección no ofrece el mismo control. Las conclusiones siguientes dependen del operador y de sus coeficientes.
Integrar hace visible la ganancia en un intervalo
−u″=x y u(0)=u(1)=0.
Dato
f(x)=x es suave.Resolver
Integrar dos veces y aplicar los extremos da u=(x−x³)/6.
Revisar
u″=−x; no solo existe la derivada débil, sino que aquí todas las derivadas son clásicas.
El dato suave se refleja en la regularidad de esta solución.
Un ejemplo polinómico ilustra el resultado, pero no prueba el teorema para datos generales.
Un segundo orden que deja una dirección libre
En R², L=−∂₁² y u(x₁,x₂)=H(x₂), función escalón.
Dirección
u no varía respecto a x₁.
Operar
∂₁u=0 y Lu=0 como distribuciones.Detectar
u salta a través de x₂=0 y no es continua allí.
El orden dos no basta: L no es elíptico en todas las direcciones.
Su símbolo ξ₁² se anula incluso con ξ₂ distinto de cero.
2. Fourier muestra la ganancia exacta cuando no hay borde
La norma Hˢ pesa el cuadrado de la transformada por (1+|ξ|²)ˢ. Dividir por 1+|ξ|² da exactamente ||u||Hˢ⁺²=||f||Hˢ con esta convención de norma. El uno protege las frecuencias bajas.
Para −Δ no podemos dividir sin más por |ξ|² en cero. Sí tenemos una estimación 
cuando u y Δu son L². Se obtiene comparando pesos. Esto es una cota de regularidad, no una inversa L² del Laplaciano para todo dato.
Contar dos derivadas con el peso
f∈H³(Rⁿ) y (1−Δ)u=f.
Dividir
û=f̂/(1+|ξ|²).Pesar
(1+|ξ|²)⁵|û|²=(1+|ξ|²)³|f̂|².Integrar
La integral finita del lado derecho es ||f||H³²; u pertenece a H⁵.
El orden pasa de tres a cinco.
La identidad usa el operador 1−Δ en todo el espacio.
Por qué añadimos una norma de u
Comparar los pesos para la estimación H² de −Δ.
Alta frecuencia
Si |ξ|≥1, (1+|ξ|²)²≤4|ξ|⁴.Baja frecuencia
Si |ξ|≤1, (1+|ξ|²)²≤4; no se necesita dividir por |ξ|².Reunir
Integrar con |û|² deja control por ||Δu||₂² y ||u||₂².
La segunda norma controla lo que no controla el símbolo cerca de cero.
Omitirla requeriría condiciones adicionales que aquí no hemos impuesto.
3. Una estimación interior necesita margen entre dos regiones
Para −Δu=f en U, u∈L²(U), f∈Hᵐ(U) y V⊂⊂U, con las regiones acotadas pertinentes, se obtiene u∈Hᵐ⁺²(V). La cota usa ||f||Hᵐ(U)+||u||L²(U). El símbolo V⊂⊂U dice que el cierre de V es compacto y queda dentro de U, separado de su borde.
Un corte χ vale uno en V y cero cerca del exterior de U.
Aparecen términos nuevos en la franja de transición. Se controlan usando regiones intermedias; sus constantes empeoran cuando el margen se estrecha. No se ha usado ninguna condición de frontera de U.
Leer correctamente el lugar de la conclusión
U=B₂(0), V=B₁(0), f∈L²(U).
Margen
El cierre de la bola de radio uno queda dentro de la de radio dos.
Dato
m=0, porque L² es H⁰.Conclusión
u∈H²(B₁), con una cota que usa datos en B₂.
Las segundas derivadas quedan controladas en la bola pequeña.
No se ha concluido H² hasta la esfera de radio dos.
El coste de un corte estrecho
El corte cambia de uno a cero en una franja de ancho δ.
Primera derivada
Su escala natural es |∇χ| del orden de δ⁻¹.
Segunda derivada
La escala de Δχ es δ⁻².
Límite
Al hacer δ→0, esas cotas pueden crecer sin límite.
Agotar el dominio con regiones interiores no conserva automáticamente una cota global.
Este cálculo explica el papel del margen, sin sustituir la prueba completa del teorema.
4. Caccioppoli controla primero un gradiente en una región menor
Para −div(A∇u)=0 con A acotada y uniformemente elíptica, probamos con η²u, donde η es un corte compacto. Su gradiente es η²∇u+2ηu∇η. El primer término contiene la energía positiva; el segundo mezcla gradiente de u y gradiente del corte.
Elipticidad, Cauchy–Schwarz y Young permiten absorber parte de esa mezcla y obtener ∫η²|∇u|²≤C∫|u|²|∇η|². Si η vale uno en Bᵣ y se anula fuera de Bᴿ, el factor geométrico es (R−r)⁻². Este escalón controla una derivada; no entrega H² por sí solo.
Absorber el término cruzado
Para A=I, escribir a=η|∇u| y b=|u||∇η|.
Identidad
La ecuación probada da ∫a²≤2∫ab.Young
2ab≤a²/2+2b².Mover
∫a²/2≤2∫b², de donde ∫η²|∇u|²≤4∫|u|²|∇η|².
La mitad de la energía absorbida permite cerrar la cota.
Las integrales y la prueba son legítimas para u∈H¹ local y corte suave compacto.
Reducir el margen empeora el control
Comparar radios r=1,R=2 y r=1,R=3/2.
Primer margen
R−r=1; su factor inverso cuadrado es uno.Segundo margen
R−r=1/2; el factor es cuatro.Comparar
Con las demás constantes fijas, la estimación del segundo corte tiene un coste geométrico cuatro veces mayor.
Más cerca del borde queda menos margen para controlar las derivadas.
Es una comparación de factores de la cota, no la afirmación de que la energía real se cuadruplique.
5. Las diferencias pequeñas justifican derivadas que aún no sabemos que existen
El cociente δₕu(x)=[u(x+heⱼ)−u(x)]/h se puede formar antes de conocer la derivada clásica. Cotas L² uniformes de esos cocientes, sobre regiones interiores y para h pequeño, permiten recuperar una derivada débil. Para llegar a H² aplicamos la idea al gradiente.
Con coeficientes variables aparece δₕA. Si A es localmente Lipschitz, este término permanece uniformemente acotado. Una versión suficiente es: u∈H¹ local resuelve −div(A∇u)=f, A localmente Lipschitz y uniformemente elíptica, f∈L² local; entonces u∈H² local. El desplazamiento y los cortes deben permanecer dentro del dominio.
Un cociente que podemos calcular
u(x)=x².
Restar
u(x+h)−u(x)=2xh+h².Dividir
δₕu=2x+h.Pasar al límite
En cualquier intervalo acotado, converge en L² a 2x.
Los cocientes aproximan la derivada sin haberla puesto en su definición.
La teoría usa cotas uniformes y compacidad débil cuando no hay fórmula.
Un coeficiente que rompe el argumento
A(x)=1 para x<0 y A(x)=2 para x>0.
Cruzar el salto
Para −h<x<0 y h>0, A(x+h)−A(x)=1.Dividir
δₕA=1/h sobre una franja de ancho h.Detectar
Su norma esencial suprema no está uniformemente acotada al tender h a cero.
El control Lipschitz no se puede dar por supuesto.
Más adelante veremos una solución débil de este operador que realmente no tiene H².
6. Cada escala de regularidad responde a una pregunta diferente
Si f es suave, se itera y se obtiene suavidad interior. En la escala Hölder, para 0<α<1, el dato Cᵏ,α local da Cᵏ⁺²,α local. Los casos extremos α=0 y α=1 no se insertan sin más en esa formulación.
Para una ecuación escalar homogénea en divergencia, coeficientes solo medibles, acotados y uniformemente elípticos permiten continuidad Hölder local por De Giorgi–Nash–Moser, pero no garantizan gradiente continuo ni H². En coeficientes variables, los teoremas de Schauder piden la regularidad apropiada a la forma del operador. Tampoco se transfieren automáticamente los resultados escalares a sistemas.
Subir en la escala Sobolev
−Δu=f con f∈H² local y u∈L² local.
Orden inicial
El dato tiene orden m=2.Ganancia
m+2=4; la conclusión es H⁴ local.Interpretar
Se controlan derivadas débiles de u hasta orden cuatro en L² sobre regiones interiores.
H⁴ no significa cuatro derivadas clásicas continuas.
Para obtener una clase Cᵏ se revisa además el umbral dimensional de Sobolev.
Leer un exponente Hölder
Para Poisson, f∈C⁰,¹ᐟ² local.
Exponentes
Aquí k=0 y α=1/2, dentro del intervalo permitido.Aplicar
Schauder da u∈C²,¹ᐟ² local, con control de u en una región mayor.
Significado
Las segundas derivadas existen clásicamente y son Hölder de exponente un medio localmente.
La conclusión especifica tanto orden como módulo de continuidad.
Con operadores variables habría que verificar también sus coeficientes.
7. Llegar hasta el borde exige geometría y datos compatibles
Para −Δu=f, u∈H¹₀(Ω), f∈L²(Ω), si Ω es acotado con frontera C¹,¹, se obtiene H²(Ω) y una cota por ||f||₂. Aplanar una frontera con esa regularidad permite controlar los coeficientes que aparecen en el cambio de variables. Los datos no nulos necesitan la regularidad de traza correspondiente.
Una esquina entrante ofrece otro comportamiento.
La función rᵝsin(βθ) es armónica y vale cero en ambos lados. Su gradiente es del orden de rᵝ⁻¹ y su hessiano del orden de rᵝ⁻²; el elemento de área polar aporta otro factor r.
Comprobar las integrales cerca de una esquina
ω=3π/2, por lo tanto β=2/3.
Gradiente
La integral radial de |∇u|² se comporta como ∫₀ᵋr⁻²ᐟ³r dr=∫₀ᵋr¹ᐟ³dr, finita.Hessiano
Para |D²u|² aparece ∫₀ᵋr⁻⁸ᐟ³r dr=∫₀ᵋr⁻⁵ᐟ³dr, infinita.Conclusión
u tiene H¹ cerca del vértice pero no H².
La obstrucción está en el borde con esquina.
La función sí es suave en todos los puntos interiores del sector.
Un problema de Dirichlet sin H dos global
Multiplicar esa función por un corte radial igual a uno cerca del vértice y cero lejos.
Borde
El seno se anula en los lados; el corte hace que también se anule cerca del arco exterior.
Dato
−Δ(χu) solo tiene aportes donde cambia χ, lejos del vértice, y allí es suave.
Singularidad
Cerca del vértice χu=u: conserva el hessiano no cuadrado integrable.
Puede haber dato suave y solución sin H² global en este dominio.
Falla la hipótesis de frontera C¹,¹; no falla la regularidad interior.
8. La continuidad del flujo no obliga a la continuidad de la pendiente
La función es continua, lineal por tramos y H¹. Su flujo A u′ es uno en ambos lados: por eso −(Au′)′=0 débilmente.
La pendiente cambia de uno a un medio. Como distribución, u″ contiene (1/2−1)δ₀=−δ₀/2 y no es una función L² cerca de cero. El operador sigue siendo uniformemente elíptico, pero A no es Lipschitz. La ecuación conserva el flujo, no impone que la pendiente sea la misma si el material cambia.
Verificar la ecuación débil de este perfil
v suave con soporte compacto en (−1,1).
Flujo
A u′=1 casi en todas partes.Probar
∫₋₁¹A u′v′=∫₋₁¹v′=v(1)−v(−1).Soporte
Los valores extremos de v son cero, así que la integral es cero.
u resuelve la ecuación débil homogénea.
El valor asignado a A exactamente en cero no afecta las integrales.
Identificar qué segunda derivada falla
u′=1 a la izquierda y 1/2 a la derecha.
Salto
El valor derecho menos el izquierdo es −1/2.
Distribución
La derivada del salto es −δ₀/2.
Espacio
Una masa puntual no es una función L² en un intervalo; u no pertenece a H² local cerca de cero.
La falta de regularidad del coeficiente tiene una consecuencia real.
La función u es continua: no confundimos un salto de pendiente con un salto de u.
9. Antes de convertir un orden Sobolev en continuidad hay que mirar la dimensión
La ruta es concreta: identificar operador y forma de divergencia, comprobar elipticidad y coeficientes, precisar la clase del dato y de la solución, decidir interior o frontera, aplicar el teorema y traducir su conclusión. Los pasos no se sustituyen por decir que una ecuación es elíptica.
Una inclusión Sobolev suficiente para Hˢ local⊂Cᵏ local exige s>k+n/2. La desigualdad es estricta. Suavidad no significa analiticidad: para una conclusión analítica se necesitan hipótesis analíticas adicionales. La ganancia de derivadas y la existencia de una serie convergente son propiedades diferentes.
Interpretar H cuatro en dos dimensiones
u∈H⁴ local en R².
Para k=2
4>2+2/2=3; la inclusión da C² local.Para k=3
4=3+2/2: es el umbral y esta inclusión estricta no da C³.Para k=4
4 no supera cinco; mucho menos se deduce C⁴ por esta regla.
Podemos justificar C² local con este criterio.
No se afirma que ninguna función H⁴ sea más suave; se precisa lo que la hipótesis garantiza.
Analizar una conclusión antes de usarla
f∈H² local, pero sin datos ni regularidad declarados en el borde.
Interior
Poisson permite H⁴ local para una solución localmente L².
Frontera
No hay hipótesis que permita extender automáticamente esa conclusión hasta el borde.
Clásica
Para traducir a Cᵏ se usa la dimensión y la desigualdad estricta correspondiente.
El resultado correcto conserva el lugar y la escala de regularidad.
Añadir una palabra como global cambia el teorema y requiere otras hipótesis.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Dato lineal
Resuelve −u″=x con u(0)=u(1)=0.
Datos
−u″=x en (0,1) con u(0)=u(1)=0.Signo
u″=−x.Integrar una vez
u′=−x²/2+C.Integrar otra vez
u=−x³/6+Cx+D.Frontera
u(0)=0 da D=0 y u(1)=0 da C=1/6.Comprobar
u=(x−x³)/6 cumple los extremos y −u″=x.Es suave en este intervalo.
u=(x−x³)/6.
−u″=x.
EJEMPLO RESUELTO 2
Ganancia Sobolev
Si f∈H²_loc y −Δu=f con u localmente L², ¿qué regularidad interior da el modelo?
Ecuación
Tenemos −Δu=f distribucionalmente y u∈L² local.Dato
f∈H² local: en el modelo de Poisson el orden es m=2.Región
Elegimos V⊂⊂U dentro del dominio.Teorema
La estimación interior gana dos órdenes: Hᵐ del dato produce Hᵐ⁺² de u en V.
Contar
2+2=4, así que u∈H⁴ local.Alcance
La conclusión no asegura regularidad hasta la frontera ni cuatro derivadas clásicas en toda dimensión.
u∈H⁴_loc.
La afirmación es interior, sin conclusión automática sobre frontera.
Los símbolos que hemos usado
- V⊂⊂U⊂Ω
- V y U abiertos, con cierre de V compacto dentro de U; las estimaciones usan una región mayor que la de la conclusión.
- Hᵐ_loc(Ω)
- Derivadas débiles cuadrado integrables hasta orden m en cada región compactamente contenida; aquí m es entero no negativo salvo indicación.
- L=−div(A∇)
- Operador en divergencia con matriz real de coeficientes A(x).
- λ,Λ
- Constantes uniformes positivas con ξ·A(x)ξ≥λ|ξ|² y |A(x)ξ|≤Λ|ξ|.
- Cᵏ,α
- Funciones con derivadas hasta orden k y derivadas de orden k Hölder de exponente 0<α<1.
- δ_hu
- Cociente incremental [u(x+heⱼ)−u(x)]/h en una dirección coordenada.
- C¹,¹ del borde
- Frontera localmente dada por gráficas C¹ con primeras derivadas Lipschitz.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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