Un equilibrio puede estar curvado sin tener un pico aislado. Sumaremos curvaturas en varias direcciones y veremos cómo pueden cancelarse. Después añadiremos una fuente: esa pequeña modificación cambia el máximo permitido y obliga a cuidar los signos de los balances.
Si necesitas repasar:
1. El laplaciano suma curvaturas, no obliga a que cada una sea cero
Una curvatura positiva puede compensar otra negativa; «armónica» no significa «recta» ni «constante».
El operador es lineal e invariante bajo traslaciones y rotaciones euclídeas.
El signo menos forma parte de esa convención; no se suprime al interpretar una fuente positiva.
Dos curvaturas se cancelan
u=3x²−3y²+2x.
Dirección x
uₓₓ=6; el término 2x desaparece tras dos derivadas.Dirección y
uᵧᵧ=−6.Sumar
Δu=6−6=0.
Es armónica en todo el plano.
No es constante y no tiene segundas derivadas puras nulas por separado.
La dimensión cambia la suma
u=x²+y² en el plano y v=x²+y²+z² en el espacio.
Cada coordenada
Su cuadrado aporta una segunda derivada igual a 2.
Dos direcciones
Δu=2+2=4.Tres
Δv=2+2+2=6.
Ninguna de las dos es armónica.
Hay que sumar todas las coordenadas espaciales del problema, sin contar un tiempo que no pertenece al laplaciano espacial.
2. Una fuente puede sostener un equilibrio no uniforme
El equilibrio conserva la forma en el tiempo, pero puede tener pendiente o curvatura.
La ecuación interior no determina por sí sola la solución: a una particular de Poisson se puede sumar cualquier armónica. El dominio, los datos de frontera y la clase de soluciones seleccionan el problema. En un dominio no acotado puede hacer falta además control del crecimiento lejano.
Una fuente positiva mantiene una joroba
−u″=4 en [0,2], u(0)=u(2)=0.
Integrar
u″=−4, luego u=−2x²+Ax+B.Extremos
B=0 y −8+2A=0, de modo que A=4.Máximo
u=2x(2−x), con máximo 2 en x=1.
Hay un máximo interior sostenido por la fuente.
No es una armónica; no contradice el principio del máximo de Laplace.
La misma fuente admite muchas soluciones antes de dar el borde
−Δu=4 en el plano.
Una particular
u₀=−x²−y² tiene −Δu₀=4.Añadir una armónica
h=5+xy tiene Δh=0.Nueva solución
u=−x²−y²+5+xy conserva la fuente 4.
El borde es necesario para seleccionar entre estas posibilidades.
La linealidad justifica sumar la armónica; una condición de borde arbitraria podría excluir la nueva función.
3. El valor medio conecta un punto con todos sus vecinos alrededor
Si una bola cerrada cabe en el dominio, una armónica vale en su centro el promedio sobre su circunferencia o esfera; también coincide con el promedio de la bola.
Derivar el promedio y aplicar la divergencia da M′(r)=(1/(2πr))∫ del disco de radio r de Δu, que es cero.
Integrar esos promedios con el peso radial da la versión sobre la bola. La propiedad también permite probar suavidad interior mediante promedios con núcleos suaves.
Comprobar el promedio en un centro que no es cero
u=x²−y², centro (a,b), radio r.
Parametrizar
x=a+r cosθ,y=b+r senθ.Desarrollar
u=a²−b²+2ar cosθ−2br senθ+r²cos(2θ).Promediar
Los cosenos y senos tienen promedio cero en una vuelta.
El promedio es a²−b²=u(a,b).
La igualdad no depende del radio, siempre que la circunferencia esté dentro del dominio.
Comparar una función que no está en equilibrio
v=x²+y², centro (a,b), radio r.
Expandir
v=a²+b²+2ar cosθ+2br senθ+r².Promedio
Los términos lineales trigonométricos desaparecen.
Resultado
Promedio=a²+b²+r², mayor que v(a,b) si r>0.
Falla la propiedad del valor medio, coherentemente con Δv=4.
La diferencia r² muestra qué aporta aquí la curvatura total positiva.
4. Un máximo armónico interior obliga a un equilibrio constante
Supón que u alcanza el máximo global M en un punto interior de un dominio conectado. Su promedio en cada pequeña esfera también debe ser M. Como todos los valores son ≤M y u es continua, ninguno de esos vecinos puede ser menor: la función vale M en una bola.
El conjunto donde u=M es así abierto y cerrado en el dominio; por conexión es todo el dominio. Este es el principio fuerte. Si además el dominio es acotado y u es continua en su clausura, los extremos se alcanzan y pueden localizarse en la frontera, salvo el caso constante.
La acotación es importante para esa conclusión global.
Usar la frontera para acotar el interior
u armónica, continua hasta el borde de un dominio acotado, con datos entre −2 y 5.
Máximo
u≤5.Mínimo
Aplicar lo mismo a −u da u≥−2.Caso de igualdad interior
Si alcanza 5 dentro, debe ser constante 5 en el dominio conectado.
−2≤u≤5.
Si el borde contiene un valor menor que 5, la igualdad interior en 5 es imposible bajo estas hipótesis.
Por qué no quitamos la condición lejana
Semiplano y>0, u(x,y)=y.
Ecuación
Las dos segundas derivadas son cero.
Borde
En y=0 vale cero.Interior
Es positiva y crece sin límite, sin máximo interior global.
El borde cero no determina unicidad en esa clase sin control al infinito.
No contradice el principio fuerte: la función no alcanza un máximo interior.
5. Restar soluciones demuestra unicidad, pero no construye existencia
Si dos soluciones de la misma Poisson comparten datos Dirichlet, su diferencia es armónica y vale cero en el borde. En un dominio acotado, con regularidad C² interior y continuidad en la clausura, el máximo aplicado a la diferencia y a su opuesta la fuerza a ser cero.
Eso demuestra «como mucho una». Para demostrar «hay una» se necesita una construcción, como el núcleo del disco, o un teorema con sus hipótesis. En el marco débil, para un dominio acotado Lipschitz, f∈L² y borde homogéneo, Poincaré y Lax–Milgram dan una única solución en H₀¹.
Comparar dos particulares sin resolver de nuevo
u₁,u₂ satisfacen −Δu=6 y el mismo borde continuo en un dominio acotado.
Restar
−Δ(u₁−u₂)=6−6=0.Borde
w=u₁−u₂ vale cero.Dos cotas
w≤0 y −w≤0.
Si ambas tienen la regularidad indicada, son la misma solución.
El tamaño y el signo de la fuente desaparecieron al restar.
Existencia concreta en el disco
−Δu=4 en el disco unidad, borde cero.
Probar una forma radial
u=1−x²−y².Ecuación
−Δu=−(−2−2)=4.Borde
x²+y²=1 implica u=0.
Existe y, por unicidad, es la solución clásica continua hasta el borde.
Su máximo es 1 en el centro: Poisson puede sostener un pico interior.
6. La integración por partes convierte Poisson en una energía mínima
Para −Δu=f y una prueba v que se anula en el borde, Green da ∫∇u·∇v=∫fv. Esa identidad define la solución débil en H₀¹ cuando los datos lo permiten.
Si u cumple la identidad, escribir v=u+h con h de borde cero da J(v)−J(u)=(1/2)∫|∇h|²≥0: los términos cruzados se cancelan por la ecuación débil. Así u minimiza J, no necesariamente su valor puntual.
Comprobar la identidad con integrales pequeñas
−u″=2 en [0,1],u=x(1−x).
Gradiente
u′=1−2x; ∫₀¹(u′)²=1/3.Fuente
∫₀¹2u=2(1/2−1/3)=1/3.Comparar
Ambos lados de la identidad coinciden.
La energía de gradiente es 1/3.
No es el máximo de u, que vale 1/4; son magnitudes distintas.
Ver el mínimo por una perturbación admisible
Mismo problema, v=u+a sen(πx).
Borde
La perturbación vale cero en cero y uno.
Diferencia de funcional
J(v)−J(u)=(a²/2)∫₀¹π²cos²(πx)dx.Evaluar
La integral es π²/2; la diferencia vale a²π²/4.
Toda perturbación no nula de esta familia aumenta J.
El término lineal en a se anula por la ecuación débil; no se supone esa cancelación sin justificarla.
7. Neumann exige un balance de fuentes y deja libre una constante
El signo difiere del problema escrito como Δu=f. En un intervalo, las normales son −u′ en la izquierda y +u′ en la derecha.
Si existe solución, sumar una constante no cambia la ecuación ni su derivada normal. En un dominio conectado y regular, la diferencia de dos soluciones tiene energía de gradiente cero y es constante. Fijar la media elimina esa libertad. Si hay varias componentes conectadas, se necesita controlar una constante por componente.
Compatibilidad en una dimensión
−u″=2 en [0,1], ∂ₙu(0)=0,∂ₙu(1)=−2.
Balance
∫₀¹2=2 y −[0+(−2)]=2.Solución
u=−x²+C cumple ambos datos.Media cero
∫u=−1/3+C=0, así C=1/3.
Con media cero, u=1/3−x².
Sin fijar la media hay una familia; pedir además un valor arbitrario podría cambiar la compatibilidad.
Detectar incompatibilidad antes de integrar
−Δu=1 en un dominio acotado de volumen positivo,con ∂ₙu=0.
Fuente total
∫Ω1=volumen de Ω>0.Flujo de borde
−∫∂Ω0=0.Contradicción
El balance exigiría volumen=0.
No existe solución clásica con esos datos aislados.
Una fuente positiva permanente no puede sostener un equilibrio aislado sin salida de contenido.
8. En el disco el núcleo de Poisson construye la solución desde el borde
En el disco unidad, para g continuo en la circunferencia, u(r,θ) es el promedio de g ponderado por Pᵣ(θ−φ), donde Pᵣ(ψ)=(1−r²)/(1−2r cosψ+r²), 0≤r<1. Se divide la integral angular por 2π.
El núcleo es positivo y su promedio es uno. Su expansión 1+2Σₙ≥₁rⁿcos(nψ) explica que un modo cos(nθ) o sen(nθ) del borde se convierta en rⁿ veces ese modo. Al acercarse al borde recupera g continuamente; en el centro todos los modos no constantes desaparecen y queda la media.
Interpretar los cuatro puntos del dibujo
Dato de borde g(θ)=cos(2θ).
Modo
El factor interior es r².
Solución
u=r²cos(2θ)=x²−y².Valores
En el centro vale 0; en (1/2,0) vale 1/4; en (0,1/2),−1/4.
La oscilación se reduce hacia el centro.
El borde toma 1 en el eje horizontal y −1 en el vertical, tal como muestra el dibujo.
Varios modos del borde siguen siendo manejables
g=3+2cosθ−cos(3θ).
Extender cada modo
u=3+2r cosθ−r³cos(3θ).Escribir en cartesianas
u=3+2x−x³+3xy².Comprobar
Δ(−x³) aporta −6x y Δ(3xy²) aporta +6x.
Es armónica y toma el borde indicado.
El centro vale 3, igual al promedio de g; en (1/2,0) vale 31/8.
9. Una fuente puntual exige un sentido débil y una corrección de borde
En tres dimensiones, Γ=1/(4πr),r>0, cumple ΔΓ=0 lejos del origen. Su flujo normal integrado sobre una esfera es −1, porque Γ′=−1/(4πr²) y el área es 4πr². Por eso −ΔΓ representa una unidad de fuente δ₀ en sentido distribucional, no una función clásica en el origen.
En dos dimensiones, Γ=−ln r/(2π) tiene el mismo flujo total −1 sobre cada circunferencia. Integrar Γ contra una fuente produce un potencial cuando las hipótesis lo permiten. En un dominio con borde, se añade una corrección armónica o se emplea una función de Green que incorpore las condiciones.
La convolución libre no impone por sí sola un borde Dirichlet.
Comprobar armonicidad radial fuera de la fuente
En R³,Γ=1/(4πr).
Derivadas
Γ′=−1/(4πr²),Γ″=2/(4πr³).Laplaciano radial
ΔΓ=Γ″+(2/r)Γ′=0 para r>0.Origen
Γ diverge: la comprobación fuera no permite decir ΔΓ=0 en todo el espacio.
Armónica fuera del origen, con una fuente distribucional en él.
La integral del flujo alrededor del origen conserva información que un cálculo puntual exterior no detecta.
Una corrección armónica puede imponer un borde simple
Fuente unitaria en el centro del disco unidad,con borde cero.
Potencial bidimensional
Γ(r)=−ln r/(2π).Borde
En r=1,ln1=0, de modo que ya cumple Dirichlet.Otra referencia
Si se empezase con Γ+5, habría que restar la armónica constante 5 para recuperar el mismo borde.
u=−ln r/(2π) es la función de Green con polo central de este disco.
Es singular en el polo y no se presenta como solución clásica allí; fuera del polo es armónica y el borde es cero.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Comprobar armonicidad
¿u=x²−y² es armónica?
Regularidad
x²−y² es un polinomio C² en todo el plano.
Dirección x
uₓ=2x y uₓₓ=2.Dirección y
uᵧ=−2y y uᵧᵧ=−2.Sumar
Δu=2−2=0.Definición
Es armónica en todo R².
Interpretación
Se compensan dos curvaturas; no hace falta que cada segunda derivada sea cero ni que la función sea constante.
Sí.
En una circunferencia centrada en el origen, x² e y² tienen el mismo promedio por simetría y el promedio de u es cero, igual a u(0,0).
EJEMPLO RESUELTO 2
Poisson en un intervalo
Resuelve −u″=2 en (0,1), u(0)=u(1)=0.
Signo
−u″=2 significa u″=−2.Integrar
u′=−2x+A.Segunda integración
u=−x²+Ax+B.Extremo cero
B=0.Extremo uno
−1+A=0, así A=1.Verificar
u=x(1−x) se anula en ambos extremos y tiene segunda derivada −2. Su máximo interior es compatible con la fuente no nula.
u=x(1−x).
Su máximo interior es 1/4 en x=1/2. No contradice el máximo para armónicas porque aquí −u″=2, con fuente no nula.
Los símbolos que hemos usado
- Ω
- Dominio abierto y conectado donde se resuelve la ecuación.
- Δu
- Laplaciano: suma de las segundas derivadas respecto a todas las coordenadas espaciales.
- Armónica
- Función C² que satisface Δu=0 en el dominio.
- −Δu=f
- Convención de Poisson usada aquí; f representa la fuente con ese signo.
- ∂_nu
- Gradiente de u proyectado sobre la normal exterior de la frontera.
- g
- Dato prescrito en la frontera, indicando si es valor o derivada normal.
- Γ
- Solución fundamental de −Δ, singular en el origen y asociada a una fuente puntual.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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