Separación de variables y problemas espectrales

Ensayamos u(x,t)=X(x)T(t): al derivar en t, X queda fijo; al derivar en x, T queda fijo. Este producto suele ser solo un modo. En una ecuación lineal podemos sumar modos para construir un perfil más general.

La geometría y los coeficientes deben permitir la separación. Rectángulos y condiciones homogéneas en sus lados son un punto de partida; discos requieren coordenadas y funciones diferentes. En ecuaciones no lineales, sumar soluciones no funciona automáticamente.

El primer lado solo cambia con t y el segundo solo con x. Si son iguales para todos los pares de un rectángulo, fijar una variable muestra que ambos son constantes.

Elegimos escribir esa constante como −λ.

Las ecuaciones finales no tienen cocientes: se verifican también en nodos donde X=0. Dividir fue un paso de deducción local, no una razón para borrar esos puntos de la solución.

El primer extremo fija A=0; para B≠0 el segundo exige kL=nπ.

No se omiten los otros signos: λ=0 produce una afín que los dos extremos anulan. λ<0 produce cosh y senh, y los extremos también fuerzan la función cero. Una solución cero existe siempre, pero no cuenta como autofunción.

Para calor, Tₙ′=−κλₙTₙ: una condición inicial fija Tₙ=bₙe^(−κλₙt). Para ondas, Tₙ″+c²λₙTₙ=0: dos condiciones iniciales fijan coseno y seno, con frecuencia ωₙ=c√λₙ.

La amplitud inicial unitaria es una elección si el enunciado pide un modo normalizado; no se añade cuando el dato inicial da otro coeficiente. Normalizar una autofunción espacial a norma uno tampoco es lo mismo que imponer que su máximo valga uno.

El perfil final debe ser el mismo, aunque cambien los números de sus coeficientes.

La completitud de los senos da representación en L² para todo dato de L². Eso no autoriza a derivar término a término en t=0 ni afirma convergencia uniforme en las esquinas. Para calor, los factores e^(−constante·n²t) dominan las potencias de n que aparecen al derivar cuando t está separado de cero.

Ondas conserva amplitudes y no produce ese mismo alisamiento. Con f∈H₀¹ y g∈L² hay un marco de energía finita; mayor regularidad de los datos y compatibilidad permiten soluciones clásicas. Se distingue una identidad formal de una solución demostrada en la clase elegida.

Neumann homogénea produce cosenos, incluido el modo constante n=0. Una frontera periódica de longitud L produce cos(2πnx/L),sen(2πnx/L) para n≥1 y la constante; cada frecuencia positiva tiene dos direcciones reales independientes.

En Sturm–Liouville regular autoadjunto, −(pX′)′+qX=λwX, el peso positivo w entra en ∫wXₙXₘ. Los teoremas de ortogonalidad y base requieren esas hipótesis; no todo operador proporciona automáticamente una base ortogonal. La simplicidad de valores propios para bordes separados no se traslada a fronteras periódicas.

Un lado puede aportar senos y el otro funciones hiperbólicas. Las condiciones de cada par de lados seleccionan cuál aparece y cómo se normaliza.

Para −Δ en una caja con Dirichlet, los productos de modos de intervalos tienen valores propios que se suman: λₘₙ=(mπ/a)²+(nπ/b)² en un rectángulo a por b. En discos aparecen otras familias; los senos de una caja no se usan sin adaptar la geometría.

Una suma de modos cero en el borde nunca reproduce un borde no nulo. Elegimos una función h que cumpla ese dato y escribimos u=h+v. El nuevo problema tiene borde homogéneo, pero puede incorporar una fuente procedente de hₜ y sus derivadas espaciales.

Su solución combina la amplitud inicial amortiguada con ∫₀ᵗe^(−κλₙ(t−s))qₙ(s)ds. Se justifican convergencia y regularidad según los datos.

Primero verificamos cada modo y el borde. Después comprobamos todos los datos iniciales, sin añadir normalizaciones que el enunciado no pide. Si la suma es infinita, justificamos en qué sentido converge y cuándo podemos intercambiar derivadas e integral o suma.

Una suma finita no plantea ese último intercambio. En una serie, los datos incompatibles en una esquina pueden seguir teniendo sentido L² sin producir continuidad clásica allí. Escribir el resultado con su dominio y su clase hace posible comprobar qué problema se ha resuelto realmente.