Ecuación de ondas y propagación

Para pequeñas oscilaciones de una cuerda ideal, u(x,t) es el desplazamiento transversal. Inercia y tensión llevan a uₜₜ=c²uₓₓ, donde c² es tensión dividida por densidad lineal.

Una fotografía fija f, pero no dice si un punto está subiendo, bajando o quieto. En toda la recta, f C² y g C¹ son, por ejemplo, regularidad suficiente para la solución clásica que construiremos.

F viaja hacia la derecha y G hacia la izquierda. Su suma puede crear una onda estacionaria: los puntos oscilan mientras algunos nodos quedan quietos. La solución no tiene por qué ser una sola figura trasladada.

Integrar y sumar sus valores en x−ct y x+ct produce la fórmula.

La primera parte reparte el desplazamiento; la segunda acumula el efecto de la velocidad inicial. Las constantes de F y G se compensan en su suma.

En t=0, los dos valores de f suman f(x) y la integral desaparece por tener extremos iguales. Para derivar la integral usamos Leibniz: su contribución a uₜ es [g(x+ct)+g(x−ct)]/2.

Los términos de f aportan c[f′(x+ct)−f′(x−ct)]/2, que se anulan en cero.

La fórmula puede verificarse además en la EDP derivando bajo las hipótesis indicadas; no basta comprobar solo el desplazamiento.

En (x,t), t≥0, d’Alembert usa f en los extremos x−ct y x+ct y g dentro de todo el intervalo entre ellos. Si dos datos completos coinciden en ese intervalo, producen el mismo valor en el punto. Fuera del cono no hay influencia sobre ese punto en este modelo.

Si f y g están soportados en [a,b], la solución está contenida en [a−ct,b+ct]. Dentro de ese intervalo puede haber valores cero; la cota no dice que todo él esté ocupado. En una dimensión el término de velocidad puede dejar desplazamiento detrás de los frentes.

Si los datos solo se conocen en (0,L), algunas características alcanzarán un borde antes de t=0. Hay que dar condiciones allí. Para extremos fijos u=0 se prolongan los datos de manera impar y 2L-periódica; para extremos libres uₓ=0 se usa prolongación par.

La simetría impar hace que las dos contribuciones se cancelen en el extremo fijo. La par hace que se cancelen sus derivadas espaciales. Compatibilidades como f(0)=f(L)=0 y, para regularidad temporal hasta la esquina, g(0)=g(L)=0 importan en el caso fijo.

Para una cuerda fija de longitud L, Xₙ=sen(nπx/L), λₙ=(nπ/L)².

fₙ y gₙ son coeficientes del desplazamiento y de la velocidad en esa misma base. Dividir por ωₙ es necesario porque derivar el seno temporal vuelve a multiplicar por ωₙ. Para datos generales se justifica la suma en la clase de solución elegida; ondas no amortigua por sí misma las frecuencias altas.

Al derivar, sustituir uₜₜ=c²uₓₓ e integrar por partes, los términos interiores se cancelan y E′=c²[uₜuₓ] en los extremos.

Con borde fijo, uₜ=0 allí; con borde libre, uₓ=0. Así E se conserva. En toda la recta se necesita energía finita y control del flujo lejano; no toda solución clásica tiene esa propiedad. La energía puede salir de un subintervalo aunque se conserve en el sistema completo.

Si restamos dos soluciones con los mismos bordes homogéneos, la diferencia satisface la misma ecuación. Su energía se conserva. Con ambos datos iniciales iguales, la energía de la diferencia es cero: wₜ=wₓ=0, y el dato inicial fija la constante en cero. Esto demuestra unicidad en esa clase regular.

La propagación de velocidad finita y las identidades aquí desarrolladas corresponden al modelo unidimensional indicado; no se trasladan todas sus fórmulas a otra dimensión o a coeficientes distintos.