Ecuación del calor y difusión

Para una concentración u sin fuentes, el balance es uₜ+jₓ=0: lo que aumenta dentro de un trozo es lo que entra menos lo que sale. La ley difusiva j=−κuₓ, con κ>0 constante, hace fluir hacia valores menores.

κ tiene unidades longitud²/tiempo. Para temperatura se incluyen capacidad térmica y conductividad en esa difusividad. Una segunda diferencia aproxima la curvatura: [u(x+h)−2u(x)+u(x−h)]/h². Así los dos vecinos ayudan a interpretar el signo antes de derivar.

Dirichlet fija valores, no flujo: con extremos fríos puede salir contenido.

Sus constantes las decide el borde. Con aislamiento es constante; con temperaturas de extremo distintas aparece una pendiente y un flujo permanente, aunque la temperatura en cada lugar no cambie.

El cuadrado de n es crucial: una oscilación tres veces más rápida se amortigua con una tasa nueve veces mayor. El dibujo usa las mismas escalas en sus tres filas; las ondulaciones finas desaparecen antes que la forma ancha.

La base completa de senos permite recuperar f en norma L². Evolucionamos cada coeficiente y sumamos sus modos: eso describe la solución de calor con Dirichlet homogénea.

Para t>0, el factor e^(−constante·n²t) controla las derivadas y produce suavidad interior. Recuperar el dato en L² no significa coincidir puntualmente en todo extremo. Para continuidad clásica en las esquinas se exige, entre otras condiciones, compatibilidad del perfil con los bordes.

Los demás tienen tasas positivas.

En L², el perfil aislado tiende a esa media. Con Dirichlet cero tiende a cero. Si falta el primer modo de decaimiento, la velocidad asintótica la decide el siguiente que sí esté presente; no se inventa un coeficiente no dado.

Para f integrable, conserva la integral; para f∈Lᵖ con 1≤p<∞, recupera el dato en norma Lᵖ cuando t baja a cero. En puntos de continuidad se recupera el valor bajo las hipótesis habituales de integrabilidad o acotación. La anchura del núcleo es del orden de √(κt), no de t.

En un cilindro acotado, una solución clásica sin fuente, continua hasta el borde parabólico, queda entre el mínimo y máximo de su perfil inicial y de sus bordes laterales. Ese borde incluye t=0, no necesita un dato en el tiempo final.

En un máximo espacial interior posterior al inicio, vₓₓ≤0 y la derivada temporal en un máximo hasta ese instante es ≥0.

El máximo de v está en los datos; al dejar ε→0 queda la cota para u. Aplicar lo mismo a −u da el mínimo.

Con Dirichlet cero o aislamiento se anula el borde y E′≤0. E es una magnitud cuadrática del perfil; no se identifica sin más con la energía térmica física.

Con aislamiento aplicamos la desigualdad al perfil menos su media. Una disminución de una integral no obliga a disminuir cada valor puntual.

Si f≥0 es integrable y no es cero como elemento de L¹, G>0 implica u(x,t)>0 para cada x y t>0. La influencia alcanza toda la recta de inmediato en este modelo ideal, aunque sea minúscula lejos de la concentración inicial.

Para reconstruir un modo desde t=T hay que multiplicar por e^(κλₙT). Ese factor crece sin límite con n. La evolución directa reduce errores L² con el mismo borde; la inversión puede amplificar ruido arbitrariamente pequeño. Regularizar requiere información adicional y no equivale a cambiar sin más el signo del tiempo.