Derivadas parciales, diferencial y gradiente

La letra pasiva se comporta como constante durante esa cuenta, aunque sea variable en la función completa.

El dibujo muestra dos cortes de una función simétrica. Las parciales pueden coincidir en ese ejemplo, pero no tienen por qué hacerlo. Si y cambia con x, ya no estamos recorriendo un corte de y constante: necesitamos la regla de la cadena.

En ∂/∂x, un factor que depende solo de y se conserva como coeficiente; un término entero sin x deriva a cero. En ∂/∂y intercambiamos esos papeles. La notación ∂f/∂x, fₓ o D₁f puede expresar la misma parcial según la convención declarada.

En un punto definido por casos usamos su valor real y el cociente incremental. Una regla algebraica válida fuera de ese punto no calcula automáticamente la parcial allí. Primero fijamos la coordenada pasiva y comprobamos qué fórmula corresponde.

El diferencial Df(a) es esa aplicación L. Para una salida escalar, L(h,k)=fₓ(a)h+fᵧ(a)k: las parciales fijan los coeficientes, pero hay que justificar el resto.

El gradiente ∇f(a) reúne esos coeficientes como vector y L(h)=∇f(a)·h. El diferencial no incluye el valor base f(a); la linealización completa sí lo suma. La condición sobre el resto debe funcionar aunque cambie la dirección del incremento.

Si las parciales existen en un entorno y son continuas en a, f es diferenciable en a. Es una condición suficiente muy útil: ocurre en las funciones C¹. No es una condición necesaria para cada función diferenciable.

Tener parciales solo en a no controla todo el entorno. La función xy/(x²+y²), con valor cero en el origen, tiene allí parciales nulas pero por la diagonal vale 1/2. Ni siquiera es continua. La diferenciabilidad sí implica continuidad porque L(h)→0 y el resto es pequeño.

Si f es diferenciable, vale ∇f(a)·u. Como ‖u‖=1, el parámetro t mide distancia orientada recorrida en esa recta.

Si usamos v no unitario, la derivada respecto de t de f(a+tv) es ∇f(a)·v: una tasa por unidad de parámetro, diferente de una tasa por unidad de distancia.

Si el gradiente no es cero, el máximo aumento se alcanza con u=∇f/‖∇f‖ y el máximo descenso con el opuesto. La magnitud del máximo aumento es la norma del gradiente.

Esto usa la distancia euclídea en las coordenadas elegidas. Si una entrada se mide en metros y otra en segundos, comparar direcciones requiere declarar una escala o métrica. Si ∇f=0 y f es diferenciable, todas las tasas direccionales son cero, pero aún podría haber una silla.

La igualdad define el plano; la gráfica de f solo se aproxima a él cerca del punto.

Cada parcial multiplica el incremento de su propia coordenada. Así también se conservan unidades: salida/entrada por incremento de entrada da salida. El valor base es una altura, mientras el diferencial da un cambio de altura.

Si una curva γ(t) permanece en el nivel f=c, la composición f(γ(t)) es constante.

Un gradiente no nulo es entonces un vector normal al nivel.

Para un nivel regular de una función C¹ se exige ∇f≠0 en el punto. Si se anula, la ecuación cero por cualquier tangente no selecciona una normal. El nivel podría tener un cruce, un punto aislado u otra geometría que necesite estudio adicional.

Volvemos a derivar las parciales. Usaremos fₓᵧ para derivar primero respecto de x y después respecto de y. Si f es C² en un entorno, las mixtas coinciden y la matriz hessiana, que reúne segundas parciales, es simétrica.

Sin la regularidad adecuada no intercambiamos el orden por costumbre. Existencia de parciales, existencia de direccionales y diferenciabilidad son nociones distintas. Las fórmulas del gradiente se justificaron suponiendo diferenciabilidad, no simplemente escribiendo un vector de parciales.