Límites y continuidad en espacios euclídeos

Un punto del plano es (x,y).

La distancia a (a,b) es √((x−a)²+(y−b)²). Una bola abierta de radio δ reúne todos los puntos a distancia menor que δ; no incluye su frontera.

En ℝⁿ sumamos los cuadrados de las n diferencias. La función puede tener dominio D distinto de todo el espacio: al estudiar un límite usamos solo puntos de D. El punto objetivo debe ser de acumulación de D: debe haber otros puntos permitidos arbitrariamente cerca, aunque el objetivo mismo no esté en D.

lim(z→a)f(z)=L significa: para cada ε>0 existe δ>0 tal que z∈D y 0<‖z−a‖<δ implican |f(z)−L|<ε. ε mide tolerancia de salida; δ, cercanía de entrada. Elegimos δ antes de saber qué vecino concreto llegará.

Si la salida es vectorial, usamos su norma. En dimensión finita el límite equivale al límite de cada componente. También podemos usar otras normas equivalentes: cambia la forma de las bolas y las constantes de la estimación, pero no la existencia del límite.

Si existe un límite conjunto, cualquier camino del dominio que se acerque al punto sin tomarlo debe dar ese mismo valor. Por eso dos caminos con resultados diferentes bastan para refutarlo. No hace falta estudiar infinitos casos para encontrar un fallo.

Si varios caminos coinciden, solo tenemos información parcial. Cada camino prueba una condición necesaria del límite, no suficiente por sí sola. Para demostrar existencia buscaremos después una estimación válida en toda la región cercana.

Para y=mx con m≠0 queda mx/(x²+m²), que tiende a cero al acercar x a cero. La recta horizontal y la vertical dan cero también. Así todas las rectas por el origen coinciden.

Pero en y=x² el denominador y el numerador tienen el mismo orden: f=x⁴/(2x⁴)=1/2 para x≠0. La dirección de esa curva cambia al acercarse. El control de cada recta fija no equivale al control uniforme de todos los vecinos.

Si |f(z)−L|≤Crᵅ con r=‖z−a‖, C>0 y α>0 para todos los vecinos permitidos suficientemente cercanos, basta elegir δ para que Cδᵅ≤ε.

En el plano usamos |x|≤r, |y|≤r y denominadores positivos fuera del origen. El objetivo es eliminar la dependencia de la dirección mediante una cota que solo contenga r. Es una prueba universal sobre la bola.

Acercarse al origen exige r→0, pero θ no tiene por qué ser constante. Si obtenemos una cota que funciona para cualquier θ, sí tenemos una prueba conjunta.

Una expresión que tiende a cero para cada ángulo fijo puede fallar si un ángulo variable hace pequeño el denominador. Lo decisivo es una cota independiente de θ, no que aparezca algún factor r escrito fuera de una fracción.

En un límite reiterado fijamos una coordenada y hacemos tender la otra; después movemos la que habíamos fijado. Aunque ambos órdenes coincidan, podrían faltar aproximaciones conjuntas. Cada límite interior debe existir donde lo usamos.

El criterio secuencial completo dice que f(zₙ)→L para toda sucesión zₙ del dominio con zₙ≠a y zₙ→a. Dos sucesiones con resultados incompatibles bastan para refutar el límite. Para probarlo por sucesiones, el argumento debe cubrir una sucesión arbitraria, no dos elegidas.

En un punto de acumulación a del dominio, continuidad significa que el límite relativo existe y es f(a). Ahora a sí debe pertenecer al dominio. En un punto aislado la continuidad relativa es automática: una bola pequeña no contiene otro punto permitido que pueda contrariarla.

Polinomios son continuos; cocientes lo son donde su denominador no se anula. La composición conserva continuidad cuando la salida de la función interior cae dentro del dominio de la exterior. Sustituir directamente se justifica con esas propiedades.

Primero miramos dominio y punto; después intentamos reglas de continuidad. Si la expresión no queda decidida, los caminos sencillos buscan fallos o sugieren un candidato. Para demostrar existencia usamos una cota universal, una identidad válida o el criterio secuencial para todas las sucesiones.

Asignar un valor solo en el centro puede completar una discontinuidad evitable si el límite existe. No puede reparar caminos con resultados incompatibles. Un número escrito en el origen no cambia las salidas de los vecinos no nulos.