«Tres a la derecha y dos hacia arriba» describe un cambio, no un lugar concreto. Un vector guarda esas instrucciones. Empezaremos distinguiendo puntos y desplazamientos; después aprenderemos a encadenar flechas, cambiar su escala, medirlas y obtener una dirección de longitud uno.
Si necesitas repasar:
1. Un punto indica dónde estamos; un vector indica cómo nos movemos
Un punto A = (−1; 1) fija una posición respecto de unos ejes. El vector u = (3; 2) pide avanzar tres en horizontal y dos en vertical.
Aplicarlo desde otro punto puede terminar en otro lugar.
En geometría euclídea, flechas con igual desplazamiento representan el mismo vector libre aunque estén dibujadas en sitios distintos. En el dibujo, AB y CD tienen iguales longitud, dirección y sentido. La punta indica adónde va el movimiento.
Aplicar unas instrucciones
Desde P = (1; −2) aplicamos u = (3; 2). Halla el destino.
Horizontal
1 + 3 = 4.Vertical
−2 + 2 = 0.Destino
Q = (4; 0).
Q = (4; 0).
El vector no era el destino (3; 2); era el cambio que se añadió al punto inicial.
Misma flecha en otro lugar
Desde R = (−2; −1) aplicamos u = (3; 2).
Horizontal
−2 + 3 = 1.Vertical
−1 + 2 = 1.Destino
S = (1; 1).
S = (1; 1).
Los destinos cambian, pero ambos movimientos siguen siendo tres y dos.
2. Cada componente es un cambio con signo en un eje
En el espacio añadimos u_z: tres instrucciones independientes, una por eje. Un signo negativo pide moverse en el sentido negativo de ese eje; una componente cero pide no cambiar esa coordenada.
También se usan los vectores unitarios de los ejes: i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1). Así 2i − 3j + k significa (2; −3; 1). Aquí i nombra un vector de base, no la unidad imaginaria del tema de complejos: el contexto distingue la notación.
Leer tres componentes
Describe u = (−2; 0; 5).
Eje x
Cambio −2.
Eje y
Ningún cambio.
Eje z
Cambio +5.
Dos en sentido negativo de x, cero en y y cinco en sentido positivo de z.
La componente cero no convierte al vector entero en cero.
Ordenar por ejes, no por posición de escritura
Escribe 4j − 2i + 3k por componentes.
Coeficiente de i
−2: primera componente.
Coeficiente de j
4: segunda.
Coeficiente de k
3: tercera.
(−2; 4; 3).
El orden escrito de los términos no cambia qué eje corresponde a cada coeficiente.
3. El vector de A a B resta destino menos origen
Para ir desde A hasta B buscamos u que cumpla A + u = B.
El orden de la resta importa.
Tiene la misma longitud y dirección geométrica, pero sentido contrario. Comprobar A + AB = B ayuda a detectar una resta invertida.
Una resta con signos
A = (−2; 1), B = (3; −3). Halla AB.
Horizontal
3 − (−2) = 5.Vertical
−3 − 1 = −4.Vector
(5; −4).
AB = (5; −4).
(−2; 1) + (5; −4) = (3; −3).
Recorrer al revés
Para esos puntos, halla BA.
Destino menos origen
A − B.
Componentes
−2 − 3 = −5; 1 − (−3) = 4.Opuesto
(−5; 4) = −(5; −4).
BA = (−5; 4).
Encadenar AB y BA devuelve al punto inicial: la suma es el vector cero.
4. Sumar encadena desplazamientos; restar añade el opuesto
Para sumar u y v colocamos el origen de la segunda flecha en la punta de la primera. El resultado va desde el inicio al destino final. Los cambios por eje se suman: (uₓ + vₓ; uᵧ + vᵧ). En el espacio se hace lo mismo con z.
La resta u − v equivale a u + (−v). No se restan longitudes sin atender al sentido. El vector cero tiene todas sus componentes cero y representa no cambiar de posición.
Un recorrido con dos etapas
u = (3; 1) y v = (−1; 2). Halla el cambio total.
Horizontal
3 + (−1) = 2.Vertical
1 + 2 = 3.Suma
u + v = (2; 3).
(2; 3).
La primera flecha termina en (3; 1) si parte del origen; la segunda la lleva a (2; 3).
Restar conservando el signo de cada componente
u = (2; −1), v = (−3; 4). Calcula u − v.
Opuesto de v
(3; −4).
Sumamos
(2; −1) + (3; −4).
Resultado
(5; −5).
(5; −5).
(u − v) + v = (2; −1), que recupera u.
5. Un escalar multiplica cada componente y cambia longitud según su valor absoluto
Para λ > 0 conserva el sentido del vector no nulo; para λ < 0 lo invierte. La longitud se multiplica por |λ|, así que no se vuelve negativa.
Un factor entre cero y uno acorta la flecha. En operaciones como 2u − 3v calculamos cada múltiplo y después sumamos sus componentes con signo.
Invertir y duplicar
u = (2; −3). Calcula −2u.
Primera componente
−2 · 2 = −4.Segunda
−2 · (−3) = 6.Interpretación
Sentido opuesto y doble longitud.
−2u = (−4; 6).
Su módulo es dos veces el de u, no menos dos veces.
Una combinación
u = (1; 2), v = (3; −1). Calcula 2u − v.
Primer múltiplo
2u = (2; 4).Restamos
(2 − 3; 4 − (−1)).
Resultado
(−1; 5).
(−1; 5).
Sumarle v devuelve 2u.
6. El módulo se obtiene con Pitágoras en ejes ortonormales
Con ejes perpendiculares y la misma unidad, las componentes forman los catetos de un triángulo rectángulo.
En tres dimensiones añadimos u_z² bajo la raíz.
El módulo es un número, no un vector. Una componente negativa se eleva al cuadrado con paréntesis: (−3)² = 9. Solo el vector cero tiene módulo cero. Estas fórmulas por componentes suponen una base ortonormal; con otra base no se suman cuadrados sin más.
Una componente negativa
Halla el módulo de (−3; 4).
Cuadrados
(−3)² = 9 y 4² = 16.Suma
25.
Raíz no negativa
5.
Módulo cinco.
El signo horizontal cambia el sentido, no su contribución cuadrada a la longitud.
Tres dimensiones
Halla ‖(2; −3; 6)‖.
Cuadrados
4, 9 y 36.
Suma
49.
Raíz
7.
Siete unidades.
Omitir la tercera componente habría dado √13 y mediría otro vector.
7. Los múltiplos describen una dirección; combinar dos puede abrir un plano
Dos vectores no nulos son paralelos si uno es un múltiplo real del otro. El mismo factor debe servir en todas las componentes. No dividimos por una componente cero; comprobamos directamente las ecuaciones de componentes.
Una combinación αu + βv reúne múltiplos de dos vectores. Si son no paralelos en el plano, permite expresar cualquier vector de ese plano. Si son paralelos, sus combinaciones siguen en la misma dirección. El vector cero no tiene una dirección definida, aunque sea múltiplo de cualquier vector con factor cero.
Comprobar el mismo factor
¿Son paralelos (2; −1; 0) y (−6; 3; 0)?
Primera componente
−6 = −3 · 2.Segunda
3 = −3 · (−1).Tercera
0 = −3 · 0.
Sí: el segundo es −3 veces el primero.
El signo negativo indica sentidos opuestos.
Expresar mediante dos direcciones
u = (1; 1), v = (1; −1). Expresa (3; 1) como αu + βv.
Ecuaciones
α + β = 3; α − β = 1.Sumamos
2α = 4, luego α = 2.Volvemos
β = 1; 2u + v = (3; 1).
(3; 1) = 2u + v.
El cálculo conserva las dos componentes, no solo la longitud.
8. Normalizar divide por una longitud positiva
Un vector unitario tiene módulo uno. Para u ≠ 0, u/‖u‖ conserva su sentido y dirección, porque dividimos por un número positivo, y su módulo pasa a ser uno. Cada componente se divide por el mismo módulo.
El vector cero no se puede normalizar: su módulo es cero y no tiene dirección única. Para el sentido opuesto al de u usamos −u/‖u‖. No normalizamos dividiendo cada componente por su propio valor absoluto, porque cambiaría las proporciones.
Una dirección de longitud uno
Normaliza (3; 4) conservando sentido.
Módulo
Cinco.
División común
(3/5; 4/5).
Comprobación
√(9/25 + 16/25) = 1.
(3/5; 4/5).
Es un múltiplo positivo del vector original.
Una dirección opuesta
Halla un unitario de sentido opuesto a (0; −5).
Módulo
Cinco.
Mismo sentido
(0; −1).
Opuesto
(0; 1).
(0; 1).
Tiene módulo uno y apunta hacia arriba, opuesto al vector dado.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Desplazamiento
De A=(1,−2,3) a B=(4,2,3), halla vector y módulo.
Destino menos origen
B − A = (4 − 1; 2 − (−2); 3 − 3).Componentes
(3; 4; 0).
Módulo
√(3² + 4² + 0²) = √25 = 5.Comprobación
(1; −2; 3) + (3; 4; 0) = (4; 2; 3).
Vector (3,4,0); módulo 5.
A+(3,4,0)=B.
EJEMPLO RESUELTO 2
Normalizar
Obtén un vector unitario con el mismo sentido que (6,8).
Módulo original
√(6² + 8²) = √100 = 10.Dividimos cada componente
(6/10; 8/10) = (3/5; 4/5).Sentido
El factor 1/10 es positivo.
Comprobación
√(9/25 + 16/25) = 1.
(3/5,4/5).
Su módulo es √(9/25+16/25)=1.
Los símbolos que hemos usado
- u, v
- Vectores del mismo espacio, de dos o tres componentes.
- v=(v₁,v₂,v₃)
- Componentes de v en una base cartesiana del espacio; en el plano se usan dos.
- AB=B−A
- Vector que lleva desde el punto A al punto B.
- λ
- Escalar real que multiplica un vector.
- ||v||
- Módulo o norma euclídea: longitud no negativa del vector.
- 0
- Vector nulo, con todas sus componentes iguales a cero.
- u=v/||v||
- Vector unitario de igual sentido, definido para v≠0.
- Combinación lineal
- Suma de múltiplos escalares de vectores.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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