Teorema de Pitágoras

Los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos. El lado opuesto a ese ángulo es la hipotenusa y es el más largo. En el dibujo, los catetos miden doce y cinco centímetros; h nombra la hipotenusa desconocida.

Las letras son nombres, no propiedades: podemos llamar a y b a los catetos y c a la hipotenusa, o usar h. Lo esencial es reconocer el lado opuesto a 90°. Si giramos el triángulo, la hipotenusa sigue siendo la misma aunque ya no se vea inclinada.

Si llamamos a y b a los catetos y c a la hipotenusa, el teorema dice c² = a² + b². Cada cuadrado es el área del cuadrado construido sobre ese lado.

En el dibujo los catetos miden dos y tres centímetros. Sus cuadrados tienen áreas 4 cm² y 9 cm². Juntos suman 13 cm², que es el área del cuadrado de la hipotenusa. La longitud c será √13 cm, no trece centímetros.

Construimos dos cuadrados grandes de lado a + b y colocamos en cada uno cuatro copias del mismo triángulo rectángulo. Sus áreas totales son iguales y las cuatro piezas triangulares también ocupan lo mismo en ambas composiciones.

En la primera queda un cuadrado central de lado c. Sus lados son las cuatro hipotenusas iguales y sus esquinas son rectas, porque los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°. En la segunda quedan dos cuadrados de lados a y b.

Al retirar las mismas cuatro piezas de totales iguales, lo que sobra coincide: c² = a² + b². El dibujo usa a = 2 y b = 3 para ilustrarlo, pero la construcción y el razonamiento conservan a y b positivos cualesquiera. Un ejemplo solo no probaría el teorema general; esta reordenación explica su estructura.

Para hallar c con catetos cinco y doce, hacemos c² = 25 + 144 = 169 y recuperamos la longitud con la raíz positiva: c = 13 cm. La hipotenusa debe superar a ambos catetos, y trece supera cinco y doce.

No sumamos por rutina: primero identificamos qué lado falta.

Pero aquí c representa una longitud de un triángulo no degenerado, así que elegimos c = √13 > 0. No es que la raíz negativa deje de existir como solución de una ecuación; queda excluida por el significado de la cantidad.

Si √13 no es un decimal exacto, podemos conservarlo como respuesta exacta. Una aproximación, como 3,606 cm, se señala con ≈ y se calcula al final. Todas las longitudes deben estar en la misma unidad antes de elevar y sumar.

Si tres longitudes positivas forman un triángulo y el cuadrado de la mayor es la suma de los otros dos cuadrados, el ángulo opuesto al lado mayor es recto. Este enunciado se llama recíproco del teorema: ahora usamos los lados para concluir perpendicularidad.

Primero identificamos el mayor; no elegimos c por el orden en que aparecen los datos. Si la igualdad no se cumple, no es rectángulo. También revisamos que las longitudes puedan formar un triángulo antes de clasificarlo.

La diagonal de un rectángulo une dos vértices opuestos y, junto a dos lados contiguos, forma un triángulo rectángulo. Un rectángulo de 9 cm por 12 cm tiene diagonal d con d² = 9² + 12² = 225, así que d = 15 cm.

Entre dos puntos del plano con la misma escala en los ejes, las diferencias horizontal y vertical forman catetos perpendiculares. Para A = (1; 2) y B = (4; 6), los cambios son tres y cuatro, y la distancia recta es cinco. La longitud de recorrer primero horizontal y después vertical sería siete: es otra trayectoria.

Una escalera apoyada entre suelo horizontal y pared vertical forma un triángulo rectángulo si pared y suelo son perpendiculares. La escalera es el lado opuesto al ángulo recto, por tanto la hipotenusa. La altura y la separación del pie son catetos.

Un cálculo que produce un cateto mayor que la escalera o un cuadrado negativo avisa de que se han intercambiado datos, de que las medidas son incompatibles o de que el modelo no corresponde. Revisamos la geometría, las unidades y la cuenta, sin cambiar un signo para forzar una raíz.

Antes de operar anotamos: dónde está el recto, cuáles son los catetos, cuál es la hipotenusa y qué lado falta. Si falta la hipotenusa sumamos áreas; si falta un cateto restamos al cuadrado mayor. Al final recuperamos una longitud positiva y comprobamos la igualdad original.

No usamos Pitágoras para cualquier triángulo ni interpretamos el resultado cuadrado como una longitud. La respuesta incluye unidad, valor exacto o aproximado y una revisión de tamaño: la hipotenusa debe ser la mayor de las tres longitudes.