Semejanza y teorema de Tales

Los rectángulos de 3 por 2 y 6 por 4 del dibujo son semejantes: anchura y altura se multiplican por dos. Sus ángulos siguen siendo rectos. El factor positivo k = 2 se llama razón de semejanza en el sentido nuevo/original.

Girar o reflejar una figura no impide que sea semejante a otra. En polígonos, comprobamos ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes en la misma proporción, sin confiar solo en su parecido visual.

En el dibujo anidado, el triángulo pequeño es ADE y el grande ABC. A corresponde a A, D al ángulo recto B y E a C. Por eso comparamos AD con AB, AE con AC y DE con BC.

Si usamos el sentido contrario, todas deben invertirse: 8/4 = 10/5 = 6/3 = 2. No podemos escribir unas como grande/pequeño y otras al revés y esperar que den lo mismo. La correspondencia se identifica por ángulos y posición geométrica, no solo por el orden alfabético de los nombres.

AA: si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos del otro, el tercero también coincide porque ambos suman 180°. Sus formas quedan determinadas y son semejantes. LLL: si las tres parejas de lados son proporcionales, también lo son.

LAL: dos parejas de lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellas igual permiten concluir semejanza. La palabra comprendido importa. Conocer solo dos razones de lados sin controlar ese ángulo no basta en general. Los criterios son condiciones geométricas, no recetas para decidir por la apariencia.

Si D está en AB, E en AC y DE es paralelo a BC, los ángulos de ADE coinciden con los de ABC por las relaciones entre paralelas. El ángulo A es común.

El triángulo pequeño se compara con el completo: AD es un tramo de AB y AE es un tramo de AC.

El paralelismo es la razón que autoriza la proporción; no basta dibujar una línea dentro de cualquier triángulo.

Tres paralelas cortan dos transversales. Los tramos comprendidos entre la primera y la segunda corresponden entre sí; los de la segunda a la tercera también. En el dibujo, la azul tiene tres y cuatro unidades y la roja cuatro coma cinco y seis.

Las dos escrituras expresan la misma proporcionalidad, manteniendo los tramos correspondientes. No mezclamos un tramo completo con otro que solo es una parte.

Si cada longitud se multiplica por k, todos los lados del contorno también y el perímetro se multiplica por k. En un rectángulo, base y altura cambian ambas: su producto se multiplica por k². Esa misma ley de área vale para figuras semejantes.

En cuerpos semejantes, las tres dimensiones se escalan y el volumen se multiplica por k³. No usamos k³ para una figura plana ni afirmamos la ley para objetos que solo crecen en una dirección. En los rectángulos iniciales, k = 2: las áreas pasan de seis a veinticuatro, un factor cuatro.

Una referencia vertical de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Un árbol vertical proyecta 8 m, al mismo tiempo y sobre el mismo suelo horizontal. Ambos forman ángulos rectos con el suelo y los rayos solares son paralelos: los triángulos son semejantes.

Comparamos altura/sombra en los dos casos: 1,5/2 = h/8. La sombra del árbol es cuatro veces la de la referencia, así que la altura también: h = 1,5 · 4 = 6 m. Si el terreno o la inclinación fueran distintos, habría que revisar el modelo antes de usar la proporción.

La razón entre longitudes es un número sin unidad si hemos convertido ambas a la misma unidad. Comparar 2 m con 50 cm como 2/50 daría un factor falso.

Tras calcular revisamos todos los pares disponibles.

Una medida que no siga el mismo factor puede revelar un emparejamiento incorrecto, un total confundido con una parte o datos que no describen figuras semejantes.

Con AD = 4 y DB = 8, el lado completo AB mide doce, no ocho. La razón pequeño/completo es 4/12 = 1/3; la razón parte/resto sería 4/8 = 1/2. Ambas existen, pero no comparan lo mismo.

El resto no ocupó por error el lugar del total.