Circunferencia y círculo

Una circunferencia reúne los puntos del plano que están a una distancia fija r > 0 de un centro O. El círculo es la región que delimita; aquí incluimos también su borde. La longitud de la circunferencia mide cuánto recorreríamos al dar una vuelta por el borde.

El área del círculo mide la superficie que cubrimos por dentro. Rodear una tapa con cinta pide una longitud; recortar una pieza que tape su cara pide un área. No llamamos «área» a la curva ni confundimos el objeto con la medida que estamos calculando.

Un radio es un segmento desde O a un punto de la circunferencia; todos tienen longitud r. Una cuerda une dos puntos de la circunferencia. Si esa cuerda pasa por el centro, es un diámetro.

No toda cuerda es diámetro: la del dibujo pasa por encima de O. El diámetro es la cuerda de mayor longitud. Al convertir diámetro a radio dividimos entre dos, no elevamos al cuadrado. Estas longitudes usan la misma unidad.

Una secante cruza la circunferencia en dos puntos y atraviesa su interior. Una tangente tiene un solo punto común y no cruza el interior. Una recta exterior no tiene ningún punto en común con el borde.

El radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la tangente. También podemos comparar la distancia perpendicular del centro a la recta con r: menor da una secante, igual da una tangente y mayor da una exterior. La distancia se mide por el camino perpendicular, no por cualquier segmento oblicuo.

En cualquier circunferencia, el cociente entre su longitud L y su diámetro d es el mismo número: π.

Es una razón sin unidad: dividimos una longitud entre otra expresada en la misma unidad.

π es irracional: su desarrollo decimal es infinito y no periódico. 3,14 o 3,1416 son aproximaciones, no su valor exacto. Una respuesta como 12π cm conserva la longitud exacta; si escribimos un decimal redondeado, usamos ≈.

Una intuición de la fórmula consiste en dividirlo en sectores cada vez más finos y alternarlos: la región se acerca a un rectángulo de altura r y base igual a media longitud del borde, πr. Su producto es πr².

Al duplicar el radio, la longitud del borde se duplica, pero el área se multiplica por cuatro, porque (2r)² = 4r². Si conocemos el área, recuperamos r² dividiendo entre π y después tomamos la raíz positiva: r = √(A/π).

Un ángulo central tiene el vértice en O. Si mide θ grados de una vuelta completa de 360°, ocupa la fracción θ/360 del círculo. A igual radio, el arco correspondiente tiene esa fracción de la longitud total y el sector esa fracción del área total.

Por tanto, longitud del arco = (θ/360) · 2πr y área del sector = (θ/360) · πr². En el dibujo, θ = 60° y r = 6 cm: un sexto del borde mide 2π cm y un sexto del área mide 6π cm².

El perímetro del sector es otra pregunta: reúne el arco y los dos radios, por lo que añade 2r. El arco por sí solo no incluye esos dos segmentos rectos. Una cuerda entre sus extremos también es distinta del arco curvo.

Un ángulo inscrito tiene el vértice P sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas hacia A y B. Intercepta el arco AB que no contiene a P. Su medida es la mitad de la medida en grados de ese arco. En el dibujo, el arco corresponde a un central de 100° y el inscrito mide 50°.

Dos inscritos que abarcan el mismo arco desde el mismo lado tienen la misma medida. Si A y B son extremos de un diámetro, el arco que no contiene P es una semicircunferencia de 180°: el inscrito mide 90°. La posición de P importa para escoger el arco; no tomamos siempre el arco menor por rutina.

Antes de calcular, marcamos si nos han dado radio o diámetro y si se pide borde, superficie, arco, sector o ángulo. Si se da un diámetro, podemos usar L = πd para longitud o dividir entre dos antes de usar A = πr². No introducimos directamente el diámetro como si fuera radio.

La unidad ayuda a revisar: longitudes en cm, áreas en cm², ángulos en grados. Si doblar el radio no cambia la respuesta de la manera esperada, revisamos la potencia y la magnitud. Guardamos π hasta el final para no acumular redondeos innecesarios.