Simetrías, giros, traslaciones y homotecias

Llamamos P al punto inicial y P′, leído «P prima», a su imagen. La prima solo distingue el antes y el después. Si el punto pertenece a un triángulo ABC, transformamos A, B y C con una misma regla y unimos A′ con B′, B′ con C′ y C′ con A′.

Antes de dibujar necesitamos la instrucción completa. «Mover» no dice cuánto ni hacia dónde; «girar» no dice alrededor de qué punto. Una traslación se fija con un desplazamiento, una reflexión con un eje, un giro con centro, ángulo y sentido; una homotecia, con centro y razón.

En el dibujo trasladamos el triángulo cinco unidades a la derecha y tres abajo.

Repetimos exactamente el mismo cambio en B y C. La figura conserva su forma, su tamaño y la dirección de sus lados.

El vector (a; b) resume el movimiento horizontal a y vertical b.

Sumar a un negativo no significa cambiarle el signo: hay que hacer la suma. Si el vector es (0; 0), todos los puntos permanecen en su lugar; si no es cero, ninguno queda fijo.

El eje de simetría funciona como un espejo. Para encontrar P′ trazamos la perpendicular desde P hasta el eje y repetimos al otro lado la misma distancia. El eje corta PP′ justo por su mitad. Si P está sobre el espejo, P′ coincide con P.

En el eje vertical, el punto (2; 3) está dos a la derecha; su imagen (−2; 3) queda dos a la izquierda, a la misma altura.

Cambia la coordenada perpendicular al espejo.

Una reflexión conserva longitudes y ángulos, pero invierte la orientación del contorno. El orden horario de un triángulo pasa a antihorario. Eso no cambia la correspondencia A con A′, B con B′, C con C′.

Ahora el dato es un punto O, no un espejo recto. Dibujamos la recta OP y ponemos P′ al lado opuesto de O con la misma distancia. O debe ser el punto medio de PP′. Es el mismo resultado que dar media vuelta, 180°, alrededor de O.

Si el centro es O = (h; j), pensamos en el desplazamiento: de O a P es (x − h; y − j); para ir a P′ usamos su opuesto y lo sumamos a O.

Las letras h y j solo nombran las coordenadas del centro.

El centro es el punto alrededor del cual giramos. El segmento desde el centro hasta P mantiene su longitud; su dirección da la vuelta indicada. Antihorario es el sentido contrario a las agujas de un reloj y aquí corresponde a un ángulo positivo. El centro queda fijo.

Un cuarto de vuelta antihorario lleva la dirección derecha a arriba, y la dirección arriba a izquierda. Por eso (x; y) → (−y; x) alrededor del origen: el aporte horizontal pasa a vertical y el vertical a horizontal con signo opuesto. En el dibujo (3; 2) pasa a (−2; 3).

Media vuelta da (−x; −y). Un cuarto horario, equivalente a 270° antihorarios, da (y; −x). Estas reglas se refieren al origen; para otro centro primero trasladamos la referencia al centro, giramos y volvemos a sumar sus coordenadas.

Con centro O y razón k = 2, trazamos desde O una semirrecta por cada vértice y duplicamos su distancia al centro. Un vértice que estaba a tres unidades queda a seis sobre la misma semirrecta. Después unimos las imágenes en el orden original. La figura mantiene los ángulos y sus lados correspondientes se duplican.

Con otro centro O = (h; j), primero calculamos P − O, multiplicamos ese desplazamiento por k y volvemos a sumar O. El resultado es (h + k(x − h); j + k(y − j)). No multiplicamos las coordenadas absolutas si el centro es distinto del origen.

En las homotecias invertibles que estudiamos, k no puede ser cero: con cero todos los puntos caerían sobre el centro y no podríamos recuperar la figura.

Para k = −2, el desplazamiento desde O se multiplica por un número negativo: la imagen queda al otro lado del centro y al doble de distancia. Una distancia nunca se vuelve negativa. El factor de longitudes es |k|, el valor absoluto de la razón.

En el plano, multiplicar ambos ejes por un mismo k negativo equivale a escalar por |k| y dar media vuelta. Por eso no se confunde con un espejo axial. Si k = −1, obtenemos justamente una simetría central: misma distancia y lado opuesto.

Traslaciones, giros y simetrías conservan las distancias entre todos los puntos: son isometrías y producen figuras congruentes, con igual forma y tamaño. Una homotecia produce una figura semejante, pero su tamaño solo coincide cuando |k| = 1.

Si las longitudes se multiplican por |k|, el perímetro también. El área cambia por k², porque se escalan dos dimensiones. Para k = −2, perímetro por dos y área por cuatro. El signo no hace negativa una superficie.

Una magnitud conservada no significa que el punto se haya quedado en el mismo sitio. Un giro puede mover un vértice aunque conserve todas las longitudes. En un giro que no sea una vuelta completa solo el centro queda fijo; en una reflexión axial queda fijo todo el eje.

En el plano, traslación, giro, simetría central y homotecia invertible conservan la orientación; la reflexión axial la invierte.

Si primero trasladamos tres a la derecha, obtenemos (4; 2). Si después reflejamos en el eje y, obtenemos (−4; 2). No aplicamos la segunda regla al punto antiguo: la entrada ahora es la imagen que acabamos de calcular.

En general, invertir el orden puede cambiar el resultado. Para deshacer una traslación usamos el vector opuesto; para un giro, el ángulo contrario; para una reflexión, el mismo espejo otra vez; para una homotecia no nula, la razón 1/k con el mismo centro. Si queremos deshacer una cadena, deshacemos primero el último paso.