Polígonos regulares: ángulos, apotema y área

El lado l une dos vértices vecinos del contorno. El radio R va del centro a un vértice. La apotema a va perpendicularmente del centro a un lado y llega a su punto medio. Es la altura de un triángulo central, no su lado inclinado.

La regularidad exige dos cosas: lados iguales y ángulos iguales. Un rombo puede tener todos sus lados iguales sin que todos sus ángulos lo sean; por eso no todo rombo es regular. En el dibujo, el hexágono sí cumple ambas condiciones.

No extendemos esa igualdad a cualquier polígono regular: en un cuadrado, por ejemplo, el radio es media diagonal y no el lado.

Con n lados, el centro se une a n vértices y aparecen n triángulos iguales. Los ángulos en el centro suman 360°, por lo que cada uno mide 360°/n.

La suma de interiores de un polígono convexo de n lados es (n − 2) · 180°, porque puede dividirse desde un vértice en n − 2 triángulos. Como los interiores del regular son iguales, cada uno mide (n − 2) · 180°/n.

El ángulo exterior al continuar un lado mide 180° menos el interior: 360°/n. Coincide en medida con el central, aunque ocupa otro sitio del dibujo. La suma de los exteriores de una vuelta al contorno es 360°.

El perímetro es la longitud de todo el contorno.

La apotema no forma parte del contorno y no se añade al perímetro.

Una diagonal une vértices no consecutivos. Desde un vértice no podemos unirlo consigo mismo ni con sus dos vecinos para formar diagonales: quedan n − 3 posibilidades. Al repetirlo desde n vértices, cada diagonal se cuenta por sus dos extremos. El total es n(n − 3)/2.

Al trazar la apotema dividimos el triángulo isósceles central en dos triángulos rectángulos iguales. Sus catetos son a y l/2; su hipotenusa es R. El ángulo en el centro pasa de 360°/n a 180°/n. En el dibujo del hexágono: medio lado dos, radio cuatro y ángulo 30°.

Por tanto, si conocemos R y l, hallamos a con la raíz positiva. Para hallar a con solo n y l usamos la tangente del medio ángulo: en un triángulo rectángulo, tan θ es cateto opuesto dividido entre cateto adyacente.

Si aún no has estudiado tangente, puedes trabajar los ejemplos con apotema dada y volver a esta relación después de trigonometría. La calculadora debe usar grados cuando escribimos 180°/n.

Cada triángulo central tiene base l y altura a. Su área es l · a/2. Hay n iguales y cubren el polígono sin solaparse, así que A = n · l · a/2.

Ahora cada factor tiene sentido: P reúne las bases de los triángulos; a es su altura común; dividir entre dos corresponde al área triangular. No se divide entre n otra vez: n ya contó cuántos triángulos hemos sumado.

No es otra área: es la misma regla escrita con los datos que conocemos.

Si conocemos n y a, del medio triángulo sale l = 2a tan(180°/n), y A = n a² tan(180°/n).

En el hexágono regular, los seis triángulos son equiláteros y a = √3 l/2.

Antes de usar una forma abreviada conviene reconocer de qué triángulo procede.

Si el lado o la apotema se dan redondeados, el resultado hereda esa aproximación. No escribimos una igualdad exacta para una cifra que procede de una medición redondeada. Conservamos radicales o valores completos de calculadora hasta el final cuando sea posible.

Las longitudes deben compartir unidad antes de multiplicarse. Al ampliar un polígono por k, lado, radio, apotema y perímetro cambian por k; el área, por k². La cantidad de lados y sus ángulos permanecen iguales.

Saber solo que una figura es un hexágono regular no fija su tamaño: hay hexágonos semejantes de todos los tamaños. Hace falta una longitud o un área para obtener medidas numéricas. Para aplicar A = P a/2 debemos conocer o poder deducir P y a.

Si hay datos de más, comprobamos que sean compatibles.

Un radio menor que la apotema no describe un polígono regular convexo posible. No cambiamos una medida para forzar que la raíz salga.