Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Buscamos el ángulo recto, de 90°, marcado con una pequeña esquina. Los dos lados que lo forman son catetos. El lado que queda enfrente es la hipotenusa: siempre es el más largo y conserva ese nombre aunque giremos el dibujo.

Elegimos uno de los otros dos ángulos, que son agudos, entre 0° y 90°. Lo llamamos θ, leído «theta». El cateto que queda enfrente de θ es el opuesto. El que toca a θ es el adyacente. La hipotenusa también toca a θ, pero no se llama cateto adyacente porque no es un cateto.

En el dibujo, respecto al ángulo de la izquierda, opuesto ocho, adyacente quince e hipotenusa diecisiete. Si elegimos el ángulo de arriba, los dos catetos intercambian sus papeles. No elegimos los nombres según «vertical» u «horizontal».

Para el ángulo agudo elegido, seno θ = opuesto/hipotenusa; coseno θ = adyacente/hipotenusa; tangente θ = opuesto/adyacente. Abreviamos sen, cos y tan. El ángulo indica de qué cociente hablamos; «sen» no es una longitud ni una letra que multiplique a θ.

Las longitudes se expresan en la misma unidad antes de dividir. El resultado es una razón sin unidad, porque centímetros entre centímetros se cancelan.

Si ampliamos el triángulo manteniendo sus ángulos, todos los lados cambian por un mismo factor. El factor se cancela en cada división. Por semejanza, esos cocientes dependen del ángulo y no del tamaño del triángulo.

En un triángulo rectángulo no degenerado, cada cateto es menor que la hipotenusa. Por eso 0 < sen θ < 1 y 0 < cos θ < 1 para un ángulo agudo. La tangente puede ser menor, igual o mayor que uno: depende de cuál cateto es mayor.

Al dividir opuesto/hipotenusa entre adyacente/hipotenusa, las hipotenusas se cancelan y queda tan θ = sen θ/cos θ. También, por Pitágoras, opuesto² + adyacente² = hipotenusa².

sen²θ significa (sen θ)²: calculamos el seno y elevamos su valor al cuadrado. No significa sen(θ²). Estas relaciones servirán para comprobar resultados y se estudiarán con más detalle en identidades.

Los tres ángulos suman 180° y uno ya mide 90°. Los otros dos suman 90°: son complementarios. Si uno es θ, el otro es 90° − θ.

Al mirar desde el otro agudo, el que era opuesto pasa a adyacente. La hipotenusa se mantiene.

Las tangentes agudas son recíprocas porque se intercambia el orden de sus catetos.

Partimos un triángulo equilátero de lado dos por su altura. Aparecen dos triángulos rectángulos con hipotenusa dos, medio lado uno y altura √3 por Pitágoras. El ángulo opuesto al lado uno mide 30°.

El otro agudo es 60°: seno y coseno intercambian valores.

Para 45°, usamos un triángulo rectángulo isósceles de catetos uno. Sus agudos son iguales y suman 90°; ambos son 45°. La hipotenusa es √2, así que seno y coseno son 1/√2 = √2/2 y la tangente vale uno.

Si conocemos θ e hipotenusa y buscamos opuesto, usamos seno. Si buscamos adyacente con hipotenusa, coseno. Si conocemos un cateto y buscamos el otro, tangente. Primero escribimos los nombres de los lados; después elegimos la razón.

No hace falta calcular los tres lados si solo se pide uno. Una vez escrita la igualdad, despejamos como en una ecuación. Si la incógnita está en el denominador, multiplicamos antes de dividir; no invertimos la fórmula sin justificar la cuenta.

Abreviamos csc, sec y cot. Para un agudo todas existen porque sus catetos son positivos.

Recíproco significa invertir un cociente, no cambiarle el signo. Y no es lo mismo que la función inversa que recupera un ángulo: arcsen busca el ángulo a partir del seno; cosecante calcula el recíproco de su valor.

Si conocemos opuesto e hipotenusa, calculamos su cociente y buscamos el ángulo con ese seno. En un triángulo rectángulo el ángulo buscado es agudo: θ = arcsen(opuesto/hipotenusa). Con adyacente e hipotenusa usamos arccos; con los catetos, arctan.

En muchas calculadoras aparecen como sin⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹ mediante una tecla de función secundaria. En ese contexto significan función inversa, no recíproco. Es más claro escribir arcsen, arccos y arctan al aprender.

Configura DEG para respuestas en grados y RAD para radianes. Si el problema usa grados, una cuenta de tan 45° debe dar uno. Redondea el ángulo al final y revisa que, en esta lección de triángulos, quede entre cero y noventa.

Una rampa recta de longitud ocho metros forma 30° con un suelo horizontal. Su altura se mide verticalmente. Suelo y vertical son perpendiculares: la rampa es la hipotenusa y la altura el cateto opuesto a 30°.

Si la observación parte de los ojos de una persona, el triángulo puede empezar a esa altura, no en el suelo. Hay que sumar la altura de los ojos si se pide la altura total del objeto y el suelo de ambos puntos está al mismo nivel.

No añadimos datos que no figuren en el modelo.

La longitud obtenida debe tener la misma unidad que los lados dados y ser coherente con el papel geométrico. Una altura mayor que la rampa recta sería imposible en ese triángulo.

Primero reconocemos el recto y elegimos el agudo dado. Después nombramos opuesto, adyacente e hipotenusa desde ese ángulo. Escribimos qué conocemos y qué buscamos. Solo entonces elegimos un cociente, sustituimos y despejamos.

Al final revisamos unidades, tamaños de los lados y la cuenta con otra relación si hay datos suficientes. La igualdad de Pitágoras y sen²θ + cos²θ = 1 comprueban partes distintas de la misma geometría. Una buena comprobación vuelve a los datos iniciales.