Arcos, sectores y coronas circulares

La circunferencia es la curva a distancia r del centro; el disco es la región que llena su interior, incluido el borde. Un radio va del centro al borde y un diámetro atraviesa el centro uniendo dos extremos: d = 2r. La longitud de una vuelta es 2πr y el área del disco πr².

Una corona circular, como una arandela ideal, se obtiene al quitar un disco interior de otro mayor con el mismo centro.

Si r = 0 no hay agujero de área positiva y queda el disco completo.

Un sector es una porción delimitada por dos radios y el arco entre ellos. Un sector de corona conserva esa misma porción angular de la arandela. No confundimos su hueco con una zona que haya que pintar.

Una vuelta completa tiene 360°. Un sector de ángulo α conserva la fracción f = α/360° del círculo. Por ejemplo, 90° son un cuarto; 120°, un tercio; 60°, un sexto. Esa misma fracción actúa sobre el arco y sobre el área cuando el radio se mantiene fijo.

También podemos medir ángulos en radianes. Un radián es el ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. La vuelta completa tiene 2π radianes. Así, un ángulo θ en radianes conserva la fracción θ/(2π). No se inserta un valor en grados en una fórmula que pida radianes.

El arco es parte de la circunferencia.

La letra L mide una longitud, no una superficie.

La cuerda entre los mismos extremos es un segmento recto y, para un arco no nulo menor que una vuelta, es más corta que ese arco. Por ejemplo, en media circunferencia la cuerda es el diámetro 2R, mientras el arco mide πR. No usamos una longitud de cuerda como si fuera el borde curvo.

Cambia el factor angular, pero sigue siendo la porción de un disco del mismo radio.

Esta relación explica por qué un sector de cono abierto tiene área arco por generatriz dividido entre dos: la generatriz es el radio de ese sector.

El disco exterior tiene área 36π cm² y el hueco 4π cm².

Pero π(R − r)² sería el área de otro disco de radio cuatro, no el área de la corona. Primero se cuadra cada radio y después se resta. También podemos factorizar R² − r² = (R − r)(R + r), donde intervienen grosor y suma de radios.

Si los dos círculos tienen el mismo centro, el ángulo del sector recorta la misma fracción de ambos. Podemos restar primero sus áreas y tomar luego la fracción: A = (α/360°)π(R² − r²). Es equivalente a restar el sector exterior menos el interior.

La corona completa tiene área 27π cm² y el sector conserva un tercio: 9π cm². Los radios indicados siempre parten del centro común, aunque el material comience más lejos.

Una corona completa tiene dos circunferencias: P = 2πR + 2πr. No hay cortes rectos que añadir. En cambio, un sector de disco que no sea la vuelta completa tiene un arco y dos radios: P = L + 2R.

En un sector de corona de ángulo entre 0° y 360° sin incluir los extremos, los bordes son arco exterior, arco interior y dos cortes de longitud R − r.

Si fuera la corona completa, los cortes se unirían y desaparecerían: no usamos esa última expresión con cortes para α = 360°.

En el dibujo de 120°, R = 6 y r = 3: el arco exterior mide 4π, el interior 2π y los dos cortes suman seis. El perímetro total es 6π + 6 cm. Restar el arco interior sería quitar un borde que sí existe.

En una corona quitamos un disco interior; en un sector conservamos una porción angular; en un segmento circular pequeño quitamos a un sector el triángulo formado por sus dos radios y la cuerda. Son regiones distintas, aunque compartan parte del mismo círculo.

En un sector de 60° y radio cuatro, el triángulo de los radios es equilátero de lado cuatro. Su área es 4√3; el sector tiene 8π/3. El segmento entre el arco y su cuerda ocupa 8π/3 − 4√3. Es positivo y menor que el sector completo.

Al escalar todos los radios por k, longitudes y perímetros cambian por k y áreas por k². Conserva π y raíces exactas hasta que se pida un decimal. Una comprobación de área exige además que la región que reste no sea mayor que la que la contiene.