Un mismo ángulo puede medirse con números distintos si cambiamos de unidad, igual que una distancia puede escribirse en metros o centímetros. Ya conoces los grados; ahora construiremos el radián con un arco y un radio. Después convertir entre ambas unidades será una equivalencia con sentido, no una receta de multiplicar por π sin saber por qué.
Si necesitas repasar:
1. Cambiar de unidad no cambia la apertura
En grados dividimos una vuelta en 360 partes iguales. Una vuelta mide 360°; media vuelta 180°; un cuarto 90°. El símbolo ° avisa de que el número está expresado en grados.
Los radianes usan otra unidad para la misma apertura. Escribiremos rad para identificarla mientras aprendemos. «Un ángulo de dos» queda incompleto si no sabemos si son dos grados o dos radianes. Tener números diferentes no implica tener dos giros diferentes.
Comparar unidades conocidas
¿180° y media vuelta representan dos aperturas distintas?
Leemos la unidad de vuelta
Una vuelta son 360°.
Tomamos la mitad
360°/2 = 180°.
Representan la misma apertura.
Solo cambió la forma de expresar la medida.
El símbolo evita una ambigüedad
¿Podemos interpretar siempre «sen 2» como seno de dos grados?
Buscamos la unidad angular
No aparece el símbolo °.
Leemos la convención del contexto
En muchas fórmulas matemáticas el número sin ° se entiende en radianes.
No; hay que conocer la unidad o la convención indicada.
En esta lección declaramos grados o radianes en cada dato.
2. Un radián corresponde a un arco tan largo como el radio
Tomamos un círculo de radio r y dos radios que delimitan un arco de longitud s. Si ese arco mide lo mismo que el radio, la apertura central mide un radián.
Aquí medimos la curva, no la cuerda recta entre los extremos del arco. La definición usa longitud de arco dividida entre radio: θ = s/r. Si el arco midiera dos veces el radio, el ángulo sería dos radianes; si midiera la mitad, medio radián.
Leer la definición con otras medidas
Un arco de 5 cm pertenece a un círculo de radio 5 cm. Halla su ángulo central en radianes.
Comparamos arco y radio
Son iguales.
Aplicamos la razón
θ = 5/5 = 1 rad.
Un radián.
No depende de que el radio fuese dos o cinco centímetros.
Arco que es medio radio
Un círculo tiene radio 8 m y el arco mide 4 m. Halla θ.
Usamos longitudes de la misma unidad
Ambas están en metros.
Dividimos
θ = 4/8 = 1/2 rad.
Medio radián.
La cuerda que une sus extremos no sustituye a los cuatro metros de arco.
3. La razón arco/radio explica por qué el tamaño del círculo se cancela
Para una misma apertura, ampliar el círculo por un factor k amplía el arco y el radio por k. Su cociente (ks)/(kr) sigue siendo s/r. Por eso un ángulo en radianes no cambia al usar un círculo más grande.
El cociente de dos longitudes compatibles no lleva una unidad de longitud: cm/cm se cancela. Conservamos rad como etiqueta angular para que quede claro qué estamos midiendo. Antes de dividir, convertimos arco y radio a una misma unidad.
Un valor en radianes no tiene por qué contener π escrito. 1 rad, 0,7 rad o 2 rad son medidas perfectamente válidas. Los múltiplos sencillos de π aparecen a menudo porque se relacionan cómodamente con fracciones de vuelta.
Ampliar el dibujo
Un círculo tiene radio 3 cm y un arco de 6 cm. Si se duplica todo el dibujo, ¿qué pasa con θ?
Ángulo inicial
θ = 6/3 = 2 rad.Medidas ampliadas
Radio seis y arco doce.
Ángulo nuevo
12/6 = 2 rad.
El ángulo se mantiene en dos radianes.
El tamaño cambió, la apertura no.
Unidades diferentes antes de dividir
Radio 20 cm y arco 0,3 m. Halla θ.
Convertimos el arco
0,3 m = 30 cm.Calculamos el cociente compatible
θ = 30/20 = 1,5 rad.
Ángulo 1,5 rad.
0,3/20 habría mezclado metros y centímetros.
4. La vuelta completa mide 2π radianes
Media vuelta tiene π rad y un cuarto π/2 rad.
No significa que el número 180 sea igual al número π; significa que esas dos medidas con sus respectivas unidades representan la misma apertura. Un radián equivale a 180/π grados, aproximadamente 57,296°.
Un sexto de vuelta
Escribe un sexto de vuelta en ambas unidades.
En grados
360°/6 = 60°.En radianes
2π/6 = π/3 rad.
60° = π/3 rad.
Seis de esos giros completan una vuelta en cualquiera de las dos unidades.
Tres cuartos de vuelta
Expresa tres cuartos en grados y radianes.
Grados
(3/4) · 360° = 270°.Radianes
(3/4) · 2π = 3π/2 rad.
270° = 3π/2 rad.
Es más que media vuelta y menos que una vuelta completa.
5. Convertimos multiplicando por la equivalencia orientada a cancelar la unidad
De grados a radianes multiplicamos por π rad/180°.
El factor representa una misma apertura arriba y abajo, así que cambia la unidad y no el ángulo.
De radianes a grados multiplicamos por 180°/(π rad).
Podemos simplificar factores antes de multiplicar para mantener la cuenta pequeña.
El factor debe ponerse en el sentido que elimina la unidad inicial. No aplicamos π/180 a ambas direcciones ni quitamos π porque parezca una letra que sobra.
Grados a radianes paso a paso
Convierte 225° a radianes.
Escribimos la equivalencia
225° · π rad/180°.
Simplificamos la fracción
225/180 = 5/4.Conservamos la nueva unidad
5π/4 rad.
225° = 5π/4 rad.
Es más que π rad y menos que 3π/2, como 225° está entre 180° y 270°.
Radianes sin π explícito
Convierte 2 rad a grados.
Elegimos el factor de vuelta
2 rad · 180°/(π rad).
Calculamos la forma exacta
360/π grados.
Aproximamos al final
≈ 114,592°.
2 rad = (360/π)°, aproximadamente 114,592°.
No se cancela un π en el numerador porque no lo había.
6. El signo da sentido y las vueltas completas cuentan recorrido
Un giro positivo se toma antihorario y uno negativo horario. −90° equivale a −π/2 rad: un cuarto de vuelta en sentido horario. El signo forma parte de la medida, aunque la apertura sin orientación tenga magnitud positiva.
Sumar 360° o 2π rad añade una vuelta completa. 450° = 360° + 90° y 5π/2 = 2π + π/2 terminan en la misma dirección que un cuarto positivo, pero describen una vuelta adicional. Misma dirección final no siempre significa mismo recorrido.
Un ángulo negativo
Convierte −45° a radianes.
Aplicamos el factor
−45 · π/180.
Simplificamos con el signo
−π/4 rad.
−π/4 rad.
Representa un octavo de vuelta horario, no antihorario.
Más de una vuelta
Convierte 540° a radianes y describe el recorrido.
Conversión
540 · π/180 = 3π rad.Separamos vueltas
3π = 2π + π.Interpretamos
Una vuelta y otra media, en sentido positivo.
3π rad.
Termina en la dirección de 180°, pero ha recorrido una vuelta más.
7. La longitud de arco se calcula como radio por ángulo en radianes
La fórmula es corta porque el radián se definió justamente mediante esa razón.
Para un recorrido orientado se puede conservar el signo; si preguntamos por distancia recorrida sin cambiar de sentido, usamos r|θ| y la longitud es no negativa.
Arco con ángulo en grados
Radio 9 cm y ángulo 40°. Halla la longitud de arco.
Convertimos
40° = 2π/9 rad.Radio por ángulo
s = 9 · 2π/9 = 2π cm.
Longitud 2π cm.
También es un noveno de la circunferencia de 18π cm.
Una vuelta y parte de otra
Un punto gira siempre antihorario sobre radio 2 m y recorre 5π/2 rad. Halla la distancia recorrida.
Ángulo completo del recorrido
No quitamos la vuelta adicional.
Multiplicamos
s = 2 · 5π/2 = 5π m.
Distancia recorrida 5π m.
Usar solo π/2 mediría el último cuarto de vuelta y olvidaría el recorrido anterior.
8. Para un sector simple usamos una fracción de una sola vuelta
Para un sector simple de ángulo no negativo θ entre cero y 2π, su área es la fracción θ/(2π) del disco: A = [θ/(2π)]πr² = θr²/2. El ángulo aquí debe estar en radianes.
Un giro de varias vueltas puede recorrer la misma región varias veces. Multiplicar por el ángulo recorrido sin distinguirlo daría área contada con repeticiones, no automáticamente el área de una región plana simple. Primero identificamos qué región se pide.
El arco s y el radio r son longitudes, por lo que el producto da unidades cuadradas. El perímetro del sector, en cambio, suma arco y dos radios; es otra pregunta.
Sector en radianes
Radio 4 cm y ángulo π/3 rad. Halla el área del sector.
Cuadramos el radio
r² = 16 cm².Multiplicamos y dividimos
A = (π/3) · 16/2 = 8π/3 cm².
Área 8π/3 cm².
π/3 es un sexto de vuelta y el disco completo tiene 16π cm².
Región y vueltas no son lo mismo
Un radio recorre 5π/2 rad. ¿Basta ese dato para decir que un único sector simple tiene área 5πr²/4?
Separamos el recorrido
2π + π/2: una vuelta y un cuarto.
Revisamos la región
Parte del disco se ha barrido más de una vez.
Pedimos identificar qué se mide
Área barrida sin repeticiones y área con multiplicidad son cosas distintas.
No; esa expresión cuenta el barrido con repeticiones.
Un sector simple de cuarto de vuelta tendría área πr²/4; el recorrido completo descrito ya pasó por todo el disco.
9. La conversión se revisa volviendo al ángulo inicial
Una buena comprobación convierte de vuelta: radianes por 180/π debe recuperar los grados. También comparamos con ángulos de referencia: π/2 corresponde a 90°, π a 180° y 2π a 360°.
La calculadora debe usar la unidad que tiene el dato. En DEG, sen 30 devuelve 1/2; en RAD, sen(π/6) devuelve 1/2. Si escribimos 30 en modo RAD estamos preguntando por treinta radianes, otra apertura. Cambiar el modo no convierte por sí solo un número que se haya introducido con otra intención.
Comprobar una conversión
Se ha convertido 300° a 5π/3 rad. Verifícalo.
Volvemos a grados
(5π/3) · 180/π = 5 · 60 = 300°.Comparamos con una vuelta
5π/3 es menor que 2π y mayor que 3π/2.
La conversión es correcta.
300° está entre 270° y 360°, como exige la comparación.
Detectar el modo equivocado
Una calculadora no da 1/2 al escribir sen 30 para un problema con 30°. ¿Qué revisamos primero?
Unidad del problema
Grados.
Modo angular
Debe ser DEG para escribir treinta directamente.
Alternativa equivalente
En RAD escribiríamos π/6.
Revisamos DEG/RAD y la unidad del número introducido.
No cambiamos la fórmula ni los datos para forzar un resultado.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Convertir
Convierte 150° a radianes.
Equivalencia principal
180° = π rad.Factor que cancela grados
150° · π rad/180°.
Simplificamos la fracción
150/180 = 5/6.Resultado con unidad
5π/6 rad.
Comprobamos de vuelta
(5π/6) · 180/π = 150°.
5π/6 rad.
(5π/6)(180/π)=150°.
EJEMPLO RESUELTO 2
Arco
Radio 6 cm y ángulo central π/3 rad: halla el arco.
Leemos unidades
r = 6 cm y θ = π/3 rad.El ángulo ya está en la unidad que exige s = rθ.Multiplicamos
s = 6 · π/3 = 2π cm.Comprobamos como fracción de vuelta
π/3 es un sexto de 2π; un sexto de 2π · 6 = 12π también da 2π.Distinguimos magnitudes
Es longitud del arco, no el área del sector ni la cuerda entre sus extremos.
2π cm.
π/3 es un sexto de vuelta; el arco es 1/6 de 12π.
Los símbolos que hemos usado
- θ
- Medida de un ángulo orientado; su unidad debe indicarse.
- s
- Longitud del arco que abarca el ángulo central.
- r
- Radio positivo de la circunferencia.
- θ=s/r
- Definición de la medida en radianes para un arco y su ángulo central.
- rad
- Símbolo del radián, nombre de una unidad angular adimensional.
- π rad=180°
- Equivalencia entre media vuelta en ambas unidades.
- k
- Número entero de vueltas añadidas o retiradas.
- Coterminales
- Ángulos que empiezan en la misma dirección y terminan en la misma semirrecta.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
Practicar este tema →