Circunferencia unitaria y signos

Empezamos en su punto de la derecha y giramos un ángulo θ: positivo antihorario, negativo horario.

El ángulo está en posición normal porque su lado inicial es el semieje positivo de x.

En una circunferencia de radio r, definimos cos θ = x/r y sen θ = y/r.

Por eso elegimos una circunferencia unitaria, cuyo radio mide una unidad.

En el primer cuadrante coincide con el triángulo rectángulo: x es el cateto adyacente, y el opuesto y el radio la hipotenusa. En otros cuadrantes usamos posiciones con signo, sin llamarlas longitudes negativas. La definición por coordenadas amplía la del triángulo.

En el dibujo de 150°, la horizontal del punto es negativa y la vertical positiva. Por tanto cos 150° < 0 y sen 150° > 0 antes de calcular cuánto valen. Un seno negativo no significa una longitud negativa: es una posición por debajo del eje horizontal.

Todos los puntos de la circunferencia unitaria cumplen x² + y² = 1.

Cada una está entre −1 y 1. Este control detecta valores imposibles, aunque por sí solo no determina el cuadrante.

Primer cuadrante: x positiva e y positiva, por tanto cos y sen positivos. Segundo: x negativa e y positiva, cos negativo y sen positivo. Tercero: ambas negativas. Cuarto: x positiva e y negativa.

La tangente será y/x donde x no sea cero. Es positiva cuando x e y tienen el mismo signo y negativa cuando tienen signos distintos. Podemos reconstruir la tabla desde las coordenadas; no hace falta recitar una frase sin ver el dibujo.

Los puntos sobre los ejes no pertenecen a un cuadrante. Si una coordenada vale cero, la tratamos como cero y comprobamos aparte si la tangente tiene denominador nulo.

En 90°, el punto es (0; 1). En 180°, (−1; 0). En 270°, (0; −1). En 360° volvemos a (1; 0).

En radianes esos ángulos son 0, π/2, π, 3π/2 y 2π. Podemos usar cualquiera de las dos unidades si mantenemos su significado. Los valores de seno y coseno son las mismas coordenadas para aperturas equivalentes.

Reducir su hipotenusa a uno divide ambos catetos entre dos: el punto unitario es (√3/2; 1/2).

Estos puntos se obtienen por geometría, no midiendo aproximadamente el dibujo con una regla.

Una tabla puede resumirlos, pero el orden siempre será primera coordenada coseno, segunda seno.

El ángulo de referencia es el agudo que forma el radio final con el eje horizontal más cercano. Para un ángulo entre 90° y 180°, es 180° − θ. Entre 180° y 270°, es θ − 180°. Entre 270° y 360°, es 360° − θ. Los puntos de los ejes se tratan directamente.

Las magnitudes de x e y coinciden con las del ángulo de referencia, y los signos se ponen por el cuadrante. Por ejemplo, 240° tiene referencia 60° y termina a la izquierda y abajo: cos 240° = −1/2, sen 240° = −√3/2.

No reducimos 240° a 60° diciendo que son el mismo ángulo. Comparten magnitudes relacionadas por simetría, pero tienen dirección y signos distintos.

Sumar 360° o 2π rad no cambia el punto final. Por tanto seno y coseno tienen periodo 2π: sen(θ + 2πk) = sen θ y cos(θ + 2πk) = cos θ para cualquier entero k. El recorrido puede ser distinto, pero sus coordenadas finales coinciden.

Los ángulos θ y −θ se reflejan en el eje horizontal: misma x y y opuesta. Por eso cos(−θ) = cos θ y sen(−θ) = −sen θ. El coseno es una función par y el seno impar; esos nombres describen estas simetrías.

En la circunferencia unitaria, tan θ = y/x = sen θ/cos θ, siempre que cos θ ≠ 0. Sobre el eje vertical x = 0 y no podemos dividir entre cero: la tangente no está definida en π/2 + kπ, con k entero.

Cuando el punto gira media vuelta, x e y cambian ambos de signo, y su cociente se mantiene. Por eso la tangente tiene periodo π, menor que el de seno y coseno. Tampoco está limitada a [−1; 1]: al acercarse x a cero el cociente puede crecer mucho en magnitud.

Las razones recíprocas también tienen condiciones: sec θ = 1/cos θ requiere coseno no nulo; csc θ = 1/sen θ y cot θ = cos θ/sen θ requieren seno no nulo. Una expresión sin denominador válido no se arregla asignándole un número.

Primero identificamos la unidad. Quitamos o añadimos vueltas completas hasta obtener una dirección entre 0° y 360°, o entre 0 y 2π. Si cae en un eje usamos sus coordenadas exactas. Si no, buscamos cuadrante y ángulo de referencia.

Después tomamos los valores conocidos de la referencia y ponemos sus signos. Si necesitamos un decimal, configuramos el modo angular y calculamos al final. La identidad de cuadrados comprueba magnitudes; el cuadrante comprueba los signos.