Identidades trigonométricas fundamentales

La ecuación sen θ = 1/2 pide encontrar los ángulos cuya altura es un medio. No vale para todos. En cambio, sen²θ + cos²θ = 1 es una identidad: vale para todo ángulo real, en grados o radianes según el contexto.

Cuando aparecen fracciones, «para todos» se refiere a los ángulos donde ambas expresiones están definidas. tan θ = sen θ/cos θ exige cos θ ≠ 0. No convierte una división entre cero en una igualdad válida.

El cuadrado en sen²θ afecta al valor de seno: (sen θ)². Conservamos el mismo ángulo dentro de todos los términos al aplicar una identidad. No sustituimos sen²a + cos²b por uno si a y b son ángulos distintos sin otra justificación.

La distancia de O a P vale uno, por lo que sus coordenadas cumplen (cos θ)² + (sen θ)² = 1². Es Pitágoras expresado con esas coordenadas.

Aunque una coordenada sea negativa, su cuadrado sigue aportando una cantidad no negativa a la distancia. Por eso la identidad vale en todos los cuadrantes y también en los ejes. Del mismo origen salen sen²θ = 1 − cos²θ y cos²θ = 1 − sen²θ.

Si cos θ ≠ 0, dividimos cada término de sen²θ + cos²θ = 1 entre cos²θ.

La primera fracción es tan²θ y la última sec²θ: 1 + tan²θ = sec²θ.

La condición se conserva durante todo el razonamiento. En θ = 90°, la identidad fundamental sí existe, pero tangente y secante no: no podemos usar esta identidad derivada allí. Al recuperar sec θ de su cuadrado, todavía hay que elegir el signo por cos θ.

Si sen θ ≠ 0, dividimos la identidad fundamental entre sen²θ: 1 + cos²θ/sen²θ = 1/sen²θ. Con las definiciones cot θ = cos θ/sen θ y csc θ = 1/sen θ, queda 1 + cot²θ = csc²θ.

Recíproco e inversa son operaciones distintas. Csc θ invierte el número sen θ; arcsen busca un ángulo a partir de un valor de seno en su rango principal. No sustituimos csc por arcsen porque ambos puedan aparecer con una notación de exponente negativo en distintos contextos.

La ecuación del cuadrado permite dos valores, sen θ = ±4/5. Para elegir hay que saber si el punto está arriba o abajo del eje horizontal.

Si θ está en el segundo cuadrante elegimos +4/5; si está en el tercero, −4/5. La raíz cuadrada principal √(16/25) es +4/5, pero resolver u² = 16/25 permite los dos signos. Confundir esas dos tareas elimina posibilidades.

Los cuadrados borran información de signo. Al volver a una razón sin cuadrado, revisamos dónde está el punto y qué denominador usamos. Tan θ = sen θ/cos θ comparte signo con el producto de esas dos razones; sec y cos tienen el mismo signo; csc y sen también.

No asignamos automáticamente el signo positivo por haber usado una raíz. Podemos construir una lista de magnitud y signo para todas las razones y revisar que cada cociente conserve la posición geométrica.

Un grupo 1 − sen²θ puede reemplazarse por cos²θ. Después factorizamos o cancelamos factores completos. No cancelamos términos dentro de una suma: cancelar exige que numerador y denominador tengan un factor común.

Aunque la expresión final tenga un dominio más amplio, el problema inicial conserva sus exclusiones. Por ejemplo tan θ · cos θ se simplifica a sen θ solo donde cos θ ≠ 0, porque la tangente original no existe en los demás puntos.

Para demostrar una identidad empezamos por una expresión y aplicamos igualdades ya justificadas. Al llegar a la otra hemos probado la coincidencia en el dominio permitido. No basta copiar la igualdad que queremos y decir que es cierta porque ambos lados «se parecen».

A veces ayuda multiplicar numerador y denominador por un conjugado. En (1 − cos θ)/sen θ, multiplicamos por (1 + cos θ)/(1 + cos θ), donde esté permitido. Arriba queda 1 − cos²θ = sen²θ y aparece un factor cancelable. Siempre revisamos los ceros antes de dividir.

Probar una igualdad con dos o tres ángulos ayuda a detectar errores, pero no demuestra que valga para todos. Para demostrar una identidad usamos un argumento general. Para demostrar que una afirmación universal es falsa basta un caso válido donde falle.

Antes de comprobar elegimos un ángulo donde la expresión original exista. Si el punto está excluido, una división entre cero no es un contraejemplo dentro de su dominio. Al terminar revisamos también si los signos concuerdan con el cuadrante.