Poliedros y sólidos platónicos

Una cara es un polígono plano de la superficie; una arista, la unión entre dos caras; un vértice, la esquina donde llegan aristas. Usaremos F para caras, E para aristas y V para vértices.

La perspectiva no muestra todas las caras de frente. Las aristas discontinuas pertenecen a la parte de atrás y también se cuentan. Un lado compartido por dos caras es una sola arista del sólido. Un vértice compartido por varias caras sigue siendo un solo vértice.

Trabajamos con poliedros convexos: el segmento entre dos puntos del cuerpo permanece dentro. Un sólido platónico tiene caras que son polígonos regulares congruentes y la misma disposición de caras en cada vértice. No basta que sus caras sean simplemente polígonos o que algunas coincidan.

Llamamos p al número de lados de cada cara y q al número de caras que llegan a cada vértice. En el cubo, p = 4 porque cada cara es un cuadrado, y q = 3 porque tres caras se encuentran en una esquina. Las letras p y q no son el total F de caras del cuerpo.

Un prisma triangular no es platónico: mezcla triángulos y rectángulos. Una caja rectangular que no sea cubo tampoco: sus caras no son cuadrados regulares todos congruentes.

Si hay F caras y cada una tiene p lados, hemos contado pF lados de cara. Cada arista pertenece a dos caras, por lo que aparece dos veces.

Si en cada vértice llegan q aristas, contamos qV extremos de arista. Cada arista tiene dos extremos, así que qV = 2E. En un poliedro convexo con el encuentro habitual, q caras en el vértice corresponde también a q aristas que llegan a él.

Dividir entre dos no es una regla decorativa: elimina una duplicación identificada. Cuando contamos desde vértices hay dos extremos por arista; cuando contamos desde caras hay dos caras por arista.

Esta igualdad sirve como comprobación o para deducir un recuento que falta, siempre que el objeto cumpla las hipótesis.

Como E es positivo, el paréntesis también debe ser positivo.

Todavía habrá que interpretar qué parejas enteras p, q pueden cumplirla. No hemos supuesto por un dibujo que existen infinitos sólidos regulares.

Una cara regular de p lados tiene ángulo interior (p − 2) · 180°/p. En un vértice convexo se reúnen q caras y sus ángulos suman menos de 360°. Si sumaran exactamente 360°, se podrían quedar planos y no formarían una esquina convexa.

Cada cara tiene al menos tres lados y en cada vértice llegan al menos tres caras. Con triángulos, cada ángulo es 60°: pueden reunirse tres, cuatro o cinco; seis sumarían 360°. Con cuadrados, cada ángulo es 90°: solo tres, porque cuatro aplanan la esquina.

Con pentágonos, cada interior mide 108° y solo caben tres: 324°. Con hexágonos, el interior ya es 120°: tres dan 360°. Si p es mayor, el interior aumenta y tampoco funciona.

Los cinco cuerpos dibujados muestran que esas posibilidades se realizan.

Tetraedro, octaedro e icosaedro tienen caras triangulares, pero juntan tres, cuatro y cinco caras por vértice respectivamente. Cubo y dodecaedro juntan tres caras por vértice, pero usan cuadrados y pentágonos.

Los dibujos mantienen las aristas reales de cada modelo tridimensional. La perspectiva cambia su apariencia en la pantalla; no cambia la regularidad del objeto. Los nombres con «edro» se relacionan con la cantidad de caras: tetra cuatro, octa ocho, dodeca doce e icosa veinte.

Si marcamos el centro de cada cara de un sólido platónico y unimos centros de caras que comparten una arista, aparece su dual, tras ajustar la escala. Una cara original se convierte en un vértice del dual; un vértice original, en una cara. El número de aristas se conserva.

El cubo y el octaedro son duales: (V; E; F) pasa de (8; 12; 6) a (6; 12; 8). Dodecaedro e icosaedro también: (20; 30; 12) y (12; 30; 20). El tetraedro es dual de otro tetraedro. El par (p; q) se intercambia a (q; p).

El área total es F veces el área de una cara porque son congruentes y no se solapan en su interior. Para un cubo, seis cuadrados; para un icosaedro, veinte triángulos equiláteros. Un desarrollo válido abre las caras sin superponerlas; tener el número correcto de piezas no basta para que cierre.

Podemos dividir el interior de un sólido platónico uniendo su centro con cada cara. Resultan pirámides de bases que son las caras y altura común ρ, la distancia perpendicular del centro a una cara.

Esa ρ es el radio de la esfera inscrita, no la distancia del centro a un vértice.

Al escalar aristas por k, superficie por k² y volumen por k³. Euler y los recuentos no cambian: describen conexiones, no tamaños.