Ecuaciones parabólicas no lineales

En u(x,t), x indica el lugar y t el tiempo. uₜ mide el cambio temporal; ∇u y Δu describen variación espacial. Un modelo es uₜ=div(a(u)∇u)+F(u): el primer término es difusión y el segundo reacción. Aunque estén sumados, producen efectos diferentes.

La difusión es uniformemente parabólica si su coeficiente se mantiene entre dos constantes positivas en el rango que alcanza la solución, con las demás hipótesis del teorema correspondiente. Si a puede valer cero aparece degeneración. Decir a(u)>0 en algunos puntos no proporciona una cota positiva uniforme en toda la región.

El modelo uₜ=Δ(uᵐ), con m>1 y u≥0, se llama ecuación del medio poroso. En regiones donde u es positiva y suficientemente suave, la regla de la cadena da Δ(uᵐ)=m uᵐ⁻¹Δu+m(m−1)uᵐ⁻²|∇u|². El coeficiente principal m uᵐ⁻¹ se anula al llegar a cero.

La forma de flujo ∇(uᵐ) sigue teniendo sentido débil aunque esta expansión puntual no sea legítima. Para exponentes no enteros cercanos a uno, uᵐ⁻² puede ser singular en cero. No introducimos ese término allí como si todas las derivadas fueran clásicas. La variable no negativa también hace bien definida la potencia real.

Fijemos un toro plano, es decir, condiciones periódicas, y un dato inicial no negativo y acotado. Una clase de energía para el medio poroso es u∈C([0,T];L¹)∩L∞ y uᵐ∈L²(0,T;H¹). Para toda prueba suave periódica φ con φ(T)=0 se pide .

Se ha integrado una vez en tiempo y una vez en espacio.

La teoría monótona da existencia y unicidad de la solución en la clase apropiada. Regularizar y pasar al límite exige estimaciones y compacidad suficientes para identificar uᵐ; una convergencia débil cualquiera no permite hacerlo automáticamente.

En el toro, integrar uₜ=Δuᵐ hace cero la integral del Laplaciano por periodicidad: la masa ∫u se conserva. Lo mismo ocurre con una frontera sin flujo bajo las hipótesis adecuadas. Con Dirichlet absorbente puede perderse masa; con reacción aparece además ∫F(u).

Multiplicar por uᵐ produce otro balance: para soluciones suaves periódicas. En la clase débil se obtiene la desigualdad integrada de energía correspondiente. Controlar ∇uᵐ no equivale a controlar uniformemente ∇u donde u se acerca a cero.

La comparación conserva el orden de datos no negativos: si u₀≤v₀, las soluciones correspondientes cumplen u≤v. En la teoría de medio poroso también hay contracción L¹: ||u(t)−v(t)||₁≤||u₀−v₀||₁ con las mismas condiciones de contorno. Esto proporciona estabilidad y unicidad en la clase elegida.

Las constantes cero y M son soluciones de la difusión pura.

No concluye que u sea estrictamente positiva en todas partes en cuanto t>0. La degeneración permite regiones secas y una frontera entre u=0 y u>0.

En Rⁿ, los datos no negativos, acotados y de soporte compacto del medio poroso m>1 tienen propagación finita. Un modelo explícito es Barenblatt, , con β=1/[n(m−1)+2], α=nβ y k=β(m−1)/(2m). El subíndice + significa tomar el máximo con cero antes de elevar a la potencia.

El radio del soporte es √(C/k)tᵝ y la amplitud disminuye como t⁻ᵅ. El cambio x=tᵝy muestra que la masa lleva factor t⁻ᵅ⁺ⁿᵝ=1.

Estos son dos controles independientes de la fórmula.

Se usa t>0: en t=0 este perfil parte de una masa puntual, no de un dato acotado. U(x,t+1) sí proporciona un ejemplo con dato inicial acotado y compacto. Frente a ello, el calor lineal en Rⁿ hace positiva inmediatamente su solución para datos no negativos integrables y no nulos.

En uₜ=Δu+F(u), la difusión es uniforme pero F puede crecer rápidamente. En un toro con dato continuo y F localmente Lipschitz, la fórmula de Duhamel permite construir la solución local mediante un punto fijo: . Se trabaja en una bola acotada de funciones continuas.

El semigrupo del calor es una contracción en la norma suprema y la integral añade un factor de longitud temporal. Un intervalo pequeño puede hacer contractiva la aplicación, siempre que también preserve la bola. La solución puede continuarse mientras su norma suprema permanezca controlada; esa condición no se demuestra solo con existencia local.

Para F(u)=u(1−u), los equilibrios constantes se obtienen de c(1−c)=0: son cero y uno. Si 0≤u₀≤1 en el problema periódico, la comparación con esas dos soluciones mantiene el mismo intervalo. La cota permite continuar la solución global de este modelo.

Si el dato es una constante c₀>0, la solución sigue siendo constante en el espacio y satisface . Cuando 0<c₀<1 crece hacia uno; con c₀>1 decrece hacia uno. c₀=0 da la solución cero. Una constante positiva en Rⁿ no es integrable, por eso no se mezcla esta familia con las hipótesis de masa L¹ del perfil anterior.

Una onda viajera logística en la recta tiene forma u(x,t)=Φ(x−ct).

Es una ecuación de segundo orden para un perfil; las condiciones en los extremos del perfil forman parte del problema. No se resuelve usando sin más la fórmula logística homogénea.

Cambiar la reacción también puede cambiar el tiempo de existencia. Con F(u)=uᵖ, p>1, un dato constante positivo en el toro conserva difusión cero y satisface c′=cᵖ. Su solución crece hasta infinito en tiempo finito. La presencia de un Laplaciano en la ecuación no impide toda explosión.