Ecuaciones de primer orden y modelos elementales

Una solución es diferenciable en un intervalo I y satisface la igualdad para cada t de I, con su gráfica dentro del dominio de f. Primer orden significa que la derivada más alta es y′; y² no es una segunda derivada.

El dato selecciona una trayectoria cuando hay unicidad. Una función puede cumplir el dato y fallar la ecuación, o cumplir la ecuación y fallar el dato. Verificamos ambas cosas por separado y damos un intervalo conectado que contenga t₀.

En cada punto (t,y), dibujamos un pequeño segmento de pendiente f(t,y). Una solución debe seguir esas direcciones. Si f solo depende de y, la ecuación es autónoma y las alturas c con f(c)=0 son soluciones constantes, llamadas equilibrios.

El signo positivo indica crecimiento y el negativo decrecimiento. No necesitamos integrar para esa primera lectura. La existencia y unicidad requieren hipótesis que estudiaremos en el siguiente tema; no se deducen solo de que los trazos del campo parezcan suaves.

Si y′=g(t)h(y), anotamos primero las raíces de h: dan soluciones constantes. En una región donde h(y) no es cero, elegimos una primitiva H de 1/h. La cadena da dH(y(t))/dt=y′/h(y)=g(t); al integrar, H(y(t)) es una primitiva de g más una constante.

Antes de decidir si es separable, puede hacer falta despejar y′ o factorizar. No dividimos por una expresión que pueda anularse sin registrar las soluciones excluidas. Una solución implícita necesita una rama compatible con el dato.

Al exponenciar obtenemos el valor absoluto; el signo se incorpora en una constante con signo. La solución cero debe revisarse si se había dividido por y.

Una fórmula puede estar definida en dos intervalos separados por una singularidad. El problema inicial elige la rama conectada que contiene su tiempo inicial. Comprobar que la fórmula existe en algún otro punto no autoriza continuar a través de un valor infinito o fuera del dominio del campo.

Para y′+p(t)y=q(t), con coeficientes continuos en un intervalo, queremos (μy)′=μy′+μ′y. Hacemos μ′=pμ, por ejemplo μ(t)=exp(∫ desde t₀ hasta t de p).

Dividimos por μ, que no se anula. Esta fórmula incluye el efecto del dato y el del forzamiento sin dividir por y, que puede ser cero.

y′=ky supone que el cambio por unidad de tiempo es proporcional a la cantidad actual. La solución es y₀e^(k(t−t₀)). k tiene unidades de tiempo inverso. El signo de k indica crecimiento o decaimiento en una cantidad inicial positiva; el modelo vale mientras la hipótesis de proporcionalidad sea adecuada.

En T′=−k(T−Tₐ), con k>0 y ambiente constante Tₐ, la proporcionalidad se aplica a la diferencia con el ambiente.

No se reduce a la mitad la temperatura absoluta cuando se reduce a la mitad la diferencia.

Para datos positivos y tiempo futuro, las trayectorias se aproximan a K sin cruzarlo, por unicidad del campo polinómico.

Al despejar se obtiene y=K/[1+A e^(−r(t−t₀))], con A=K/y₀−1 para y₀ no nulo. y₀=K corresponde a A=0 y el equilibrio cero se añade aparte.

El denominador y la interpretación del dato siguen importando. Para y₀>0, la rama futura está bien definida; hacia atrás puede aparecer un polo. Una ecuación poblacional no convierte automáticamente todos los datos reales en estados físicos admisibles.

Por tanto Ψ(t,y)=C describe sus curvas de nivel.

Si M,N son C¹ en una región simplemente conexa, Mᵧ=Nₜ garantiza un potencial. Lo construimos integrando M respecto a t, añadiendo una función desconocida de y y ajustándola con Ψᵧ=N. Para despejar y′=−M/N necesitamos además N no nulo; una curva de nivel puede necesitar distintas ramas como función de t.

Para y′+p(t)y=q(t)yⁿ, con n distinto de cero y uno, usamos z=y^(1−n). Donde la potencia y las divisiones tengan sentido, z′=(1−n)y^(−n)y′.

Después recuperamos una rama de y compatible con el dato. Para exponentes reales generales suele trabajarse en y>0; con exponentes enteros pueden existir ramas negativas. Las soluciones excluidas al dividir, como y=0 si está definida y satisface la ecuación, se comprueban aparte.

Derivamos la fórmula y la sustituimos en la ecuación original, antes de cualquier división que pudiera excluir casos. Evaluamos el dato por separado. Finalmente buscamos polos, restricciones de logaritmos o raíces y fronteras del campo para identificar la rama conectada del problema.

Una solución puede satisfacer la ecuación en dos intervalos separados, pero solo uno contiene el dato inicial. Si aparece una explosión finita, no la atravesamos como si infinito fuera un valor real. También conviene comparar el signo de la derivada con el campo para detectar una fórmula incompatible con el dibujo.