Antes de buscar una fórmula conviene saber si existe alguna solución, si el dato determina una sola y si pequeños cambios del dato producen cambios controlados. Son tres preguntas distintas. Las estudiaremos con funciones concretas, un proceso de aproximación y una desigualdad que transforma errores acumulados en una cota exponencial.
Si necesitas repasar:
1. La ecuación integral contiene a la vez la regla de cambio y el dato
Integrar la derivada prueba una dirección; derivar la identidad con el teorema fundamental y evaluar en t₀ prueba la otra.
La forma integral busca una función completa que se reproduzca al sustituirla en el lado derecho: un punto fijo. Al comparar dos funciones, separa el error inicial de lo acumulado por la regla de cambio. No exige que podamos calcular una primitiva elemental de la solución desconocida.
Recuperar una solución integrando una regla sencilla
y′=2t, y(0)=3.
Identidad
y(t)=3+∫₀ᵗ2s ds.Calcular
La integral es t².
Comprobar
y=3+t² tiene derivada 2t y dato tres.
La identidad integral incorpora las dos condiciones.
La constante tres no se añade al azar: procede del dato inicial.
Comprobar una identidad aunque el integrando dependa de y
y′=y², y(0)=2; y=2/(1−2t).
Sustituir
La integral pedida es ∫₀ᵗ4/(1−2s)²ds.
Primitiva
2/(1−2s); al evaluar queda 2/(1−2t)−2.
Sumar dato
Dos más esa diferencia devuelve y(t).
Cumple la forma integral en la rama t<1/2.
La integral no atraviesa el polo; el intervalo debe contener el dato y permanecer en la rama válida.
2. Peano garantiza alguna solución local cuando el campo es continuo
En dimensión finita, si f es continua en un entorno del dato, Peano garantiza al menos una solución local.
La continuidad en ese compacto permite una cota M para ‖f‖.
Un tiempo h≤a con Mh≤b controla cuánto puede moverse una trayectoria dentro del rectángulo. La prueba aproxima con líneas poligonales de pendientes dadas por f; la acotación y equicontinuidad permiten extraer una subsucesión convergente y obtener una solución. Ese argumento de existencia no garantiza que todas las aproximaciones conduzcan a una única trayectoria.
Dar una región y un tiempo concretos
y′=t²+y², y(0)=0.
Rectángulo
|t|≤1, |y|≤1.Cota
0≤f≤2, así M=2.Tiempo seguro
h=1/2 cumple h≤1 y Mh=1≤b.
Peano proporciona existencia al menos en un intervalo local controlado por esa región.
La cota no afirma que la solución deje de existir en h; solo protege la construcción local.
No necesitamos una fórmula explícita para garantizar existencia
y′=sen(ty)+t, y(0)=0.
Continuidad
Seno, producto y suma son continuos.
Rectángulo
Con |t|≤1 y |y|≤2, |f|≤1+1=2.Control
Por ejemplo h=1/2 deja Mh=1≤2.
Existe una solución local aunque no la hayamos despejado.
Existencia es un resultado sobre funciones que satisfacen la regla, no sobre disponibilidad de una expresión elemental.
3. Lipschitz controla cuánto cambia el campo al cambiar el estado
La condición es ‖f(t,u)−f(t,v)‖≤L‖u−v‖, con el mismo t y una constante L común en la región temporal y espacial elegida. Es una cota uniforme de diferencias, no una constante que pueda dispararse sin control al variar el tiempo.
En el caso escalar, una parcial fᵧ continua y acotada en el rectángulo da L por el valor medio. Para sistemas usamos una cota del jacobiano en el estado. Tener derivada es una forma suficiente de probar Lipschitz, pero una función puede ser Lipschitz sin ser derivable en algún punto.
Una cota local que se ve sin derivar
f(t,y)=t²+y², con |y|≤1.
Restar
f(t,u)−f(t,v)=u²−v².Factorizar
|u²−v²|=|u−v||u+v|.Acotar
Con u,v entre −1 y uno, |u+v|≤2.
L=2 sirve uniformemente en ese rectángulo.
No es una cota global para todos los estados: al crecer u y v, el factor u+v no queda acotado por dos.
Una función con esquina también puede ser Lipschitz
f(y)=|y|.
Desigualdad
La triangular da ||u|−|v||≤|u−v|.Constante
L=1 sirve para todos los u,v.Esquina
f no es derivable en cero, pero la cota de diferencias sigue siendo válida.
Lipschitz no exige una derivada continua.
Que falle un criterio por derivadas no significa que falle la condición que queríamos comprobar.
4. Picard–Lindelöf convierte la búsqueda en una contracción
Si f es continua y localmente Lipschitz en y, el operador Tz(t)=y₀+∫ desde t₀ hasta t de f(s,z(s))ds tiene un único punto fijo local. Trabajamos con funciones continuas que no salen de la región: Mh≤b asegura que T permanece en esa familia.
Escogemos Lh<1 y aplicamos el teorema de contracción de Banach sobre el espacio completo de esas funciones. Las iteraciones zₙ₊₁=Tzₙ convergen uniformemente a la solución única. La geometría de la contracción justifica el proceso, además de sugerirlo.
Las iteraciones del dibujo
y′=y, y(0)=1; empieza con z₀=1.
Primera
z₁=1+∫₀ᵗ1ds=1+t.Segunda
z₂=1+∫₀ᵗ(1+s)ds=1+t+t²/2.Región
En |t|≤1/4 y |y−1|≤1, M=2,L=1: Mh≤1 y Lh=1/4<1.
El límite es la única solución eᵗ, no solo una serie sugerida por las cuentas.
Derivar eᵗ y evaluar en cero comprueba el punto fijo que el teorema garantiza.
Una ecuación no homogénea produce otros primeros pasos
y′=t+y, y(0)=0, z₀=0.
Primera
z₁=∫₀ᵗs ds=t²/2.Segunda
z₂=∫₀ᵗ(s+s²/2)ds=t²/2+t³/6.Tercera
z₃=t²/2+t³/6+t⁴/24; el límite es eᵗ−t−1.
La iteración construye progresivamente la función completa.
En |t|≤1/4, |y|≤1, podemos tomar M=5/4 y L=1, con las dos condiciones de contracción satisfechas.
5. Fallar Lipschitz no demuestra no unicidad; hay que estudiar el problema
Una hipótesis suficiente no es automáticamente necesaria. Si no podemos aplicar Picard–Lindelöf, necesitamos otro argumento para unicidad o varias soluciones explícitas para demostrar su fallo. Los dos ejemplos de esta sección comparan exactamente esas situaciones.
En f(y)=3|y|^(2/3), el cociente |f(h)−f(0)|/h=3h^(−1/3), para h>0, no está acotado cerca de cero. La continuidad sí da existencia. Las soluciones que esperan antes de salir mostrarán que aquí, además, realmente falla la unicidad.
Varias salidas del mismo dato
y′=3|y|^(2/3), y(0)=0.
Primera
y=0 siempre.Segunda
y=0 si t≤0 y y=t³ si t≥0.Empalme y ecuación
La derivada es cero en la unión; para t>0, y′=3t²=3|t³|^(2/3).
Las dos soluciones son distintas inmediatamente después de cero.
También se puede esperar hasta cualquier a≥0 y después usar (t−a)³; la gráfica compara esas elecciones.
Sin Lipschitz y con unicidad local por otra razón
y′=1+√|y|, y(0)=0.
Fallo de Lipschitz
El cociente de diferencias en h>0 es 1/√h, no acotado.Campo positivo
Define H(y)=∫₀ʸ1/(1+√|s|)ds.Es C¹ y H′>0.Separar
Toda solución cumple H(y(t))=t.H tiene una inversa diferenciable local y esa relación determina una única y.
Este problema sí tiene una solución local única.
La positividad del campo y la invertibilidad de H sustituyen el criterio de Lipschitz; no concluimos multiplicidad por el solo fallo del criterio.
6. Gronwall transforma una acumulación de errores en una cota exponencial
Si u≥0 es continua y u(t)≤A+L∫ desde t₀ hasta t de u(s)ds para t≥t₀, con A,L≥0, ponemos v=A+L∫u.
También u cumple esa cota.
Para soluciones del mismo campo Lipschitz, restar sus identidades integrales da esa desigualdad con A igual al error inicial.
Hacia atrás se invierte el tiempo.
La unicidad aparece poniendo error inicial cero
Dos soluciones del mismo problema con cota Lipschitz L.
Dato
A=‖y₀−z₀‖=0.Gronwall
La distancia no negativa es a lo sumo 0·e^(Lh)=0.Resultado
Las funciones coinciden donde se aplica la cota.
Un mismo dato no puede producir dos soluciones en esa región.
Es otra prueba de unicidad, a partir de una desigualdad integral en lugar de repetir la contracción.
Una cota puede ser exacta
y′=3y, con datos que difieren en 0,001.
Diferencia exacta
Las soluciones difieren en 0,001e^(3t).
Lipschitz
L=3, así Gronwall da la misma expresión.Dos unidades de tiempo
La diferencia es 0,001e⁶, aproximadamente 0,4034.
Una perturbación pequeña puede crecer mucho manteniendo dependencia continua.
La continuidad se afirma en un intervalo fijo: hacer pequeño el error inicial permite controlar la salida en ese intervalo.
7. Perturbar la regla de cambio añade otro término al error
Si dos campos difieren como máximo ε y uno tiene constante Lipschitz L>0 en una región común, con error inicial δ, la comparación integral produce error≤δe^(Lh)+(ε/L)(e^(Lh)−1). Para L=0, la cota es δ+εh. h es el tiempo transcurrido en valor absoluto.
Las trayectorias deben permanecer en la región donde se han comprobado esas constantes. Dependencia continua permite errores crecientes; no afirma estabilidad eterna ni que una estimación local siga válida cuando la solución sale de la zona controlada.
El error inicial y el forzamiento se suman con pesos distintos
u′=2u,u(0)=1; v′=2v+0,01,v(0)=1,001.
Datos
δ=0,001, ε=0,01 y L=2.Fórmula
v−u=0,001e^(2t)+0,005(e^(2t)−1).En t=1
El valor es 0,006e²−0,005, aproximadamente 0,03933.
La cota es exacta en este ejemplo lineal.
El término de forzamiento se acumula durante el tiempo; no equivale simplemente a cambiar el dato una vez.
Sin dependencia del estado, el error se acumula linealmente
u′=sen t,u(0)=0; v′=sen t+0,02,v(0)=0,01.
Lipschitz
Los campos no dependen de y: L=0.Restar
(v−u)′=0,02 y diferencia inicial 0,01.Integrar
v−u=0,01+0,02t; en t=3 da 0,07.
Coincide con la fórmula δ+εh para tiempo futuro.
No usamos la expresión con ε/L cuando L es cero.
8. La solución máxima puede acabar por explosión o por llegar a la frontera del campo
Las soluciones locales únicas se pegan donde coinciden y forman una solución máxima. Si un extremo temporal finito no se puede prolongar, su gráfica sale de todo compacto contenido en el dominio del campo. Puede crecer sin cota o acercarse a una frontera donde la ecuación ya no está definida.
Que f sea suave alrededor de cada punto no impone una cota global a las trayectorias. Tampoco basta que y permanezca acotada si se aproxima al borde del dominio de f. La continuación debe seguir siendo una función real diferenciable que satisfaga la ecuación.
Explosión en un campo definido en todo ℝ²
y′=y², y(0)=2.
Solución
y=2/(1−2t).Extremo
Al acercarse a 1/2 desde la izquierda, y tiende a +∞.
Conclusión
El intervalo máximo del dato es (−∞,1/2), aunque f sea polinómico en todo el plano.
Suavidad local del campo no garantiza existencia global.
La fórmula al otro lado del polo no continúa una solución real a través del punto de explosión.
Llegar a una frontera sin que la altura se haga infinita
y′=1/y, y(0)=1, con dominio y>0.
Resolver
y²=1+2t y la rama del dato es y=√(1+2t).Intervalo
t>−1/2.Frontera
Al acercarse a −1/2, y tiende a cero, donde el campo no existe; además la derivada diverge.
La magnitud está acotada hacia ese extremo, pero la trayectoria sale de los compactos del dominio y>0.
Una cota de altura sin control de la distancia a la frontera no basta para prolongar.
9. Un crecimiento a lo sumo lineal permite prolongar en todo tiempo finito
Si f está definido para todos los estados y tiempos, es continuo y localmente Lipschitz en el estado, y sobre cada intervalo temporal compacto cumple ‖f(t,y)‖≤a+b‖y‖, Gronwall acota las trayectorias en tiempos finitos. Al no haber frontera de estados ni explosión, la solución se prolonga globalmente.
Una condición suficiente cómoda es Lipschitz global en el estado, con constante uniforme en cada intervalo temporal compacto, y f(t,0) continua.
Es una condición suficiente; también podemos probar directamente la cota de crecimiento aunque la derivada del campo no esté globalmente acotada.
Garantizar solución global sin despejarla
y′=sen t+y, con cualquier dato real.
Condiciones locales
El campo es suave y Lipschitz global en y con L=1.Crecimiento
|f(t,y)|≤1+|y|.Gronwall
En cualquier tiempo finito h, |y(t)|≤(|y₀|+1)eʰ−1, usando h=|t−t₀|.
No puede explotar en un extremo temporal finito: la solución es global.
La cota no dice que permanezca acotada cuando t crece sin límite.
La cota lineal puede existir sin Lipschitz global
y′=y sen y.
Localmente
La derivada sen y+y cos y es continua, así hay unicidad local.
Sin cota global de derivada
En y=2πn, la derivada vale 2πn y crece sin cota.Crecimiento
|y sen y|≤|y|, por lo que |y(t)|≤|y₀|e^(|t−t₀|).
Las soluciones son globales aunque no haya una constante Lipschitz global.
Comprobamos la hipótesis que controla explosión, sin convertir una condición suficiente cómoda en requisito necesario.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una ecuación regular
Justifica unicidad local de y′=t+y² con y(0)=1.
Campo y dato
f(t,y)=t+y², en (0,1); se pide unicidad local sin buscar fórmula.
Continuidad
Es polinómico y continuo en todo ℝ².
Parcial
fᵧ=2y, continua.Rectángulo
En |t|≤1, 0≤y≤2, |fᵧ|≤4.Directamente |u²−v²|=|u−v||u+v|≤4|u−v|.Teorema
La continuidad y Lipschitz local uniforme cumplen Picard–Lindelöf: existe una solución local única.
Alcance
La constante cuatro es local en esa región; no hemos probado duración global ni que la solución quede allí para siempre.
Existe una única solución local.
La cota directa |u²−v²|=|u−v||u+v|≤4|u−v| en [0,2] confirma la condición usada.
EJEMPLO RESUELTO 2
Continuidad sin unicidad
Estudia y′=2√|y|, y(0)=0.
Existencia
f(y)=2√|y| es continua: Peano garantiza al menos una solución local por cero.
Lipschitz
Para h>0, |f(h)−f(0)|/h=2/√h, sin cota local.Esto solo impide aplicar ese criterio de unicidad.
Primera trayectoria
y₁(t)=0 cumple la ecuación y el dato.Segunda
y₂(t)=0 para t≤0 y y₂(t)=t² para t≥0.Verificar empalme
La derivada en cero es cero por ambos lados. Para t>0, y₂′=2t=2√t²; para t<0 ambos miembros son cero.
No unicidad
Ambas cumplen y(0)=0 y difieren para t>0.Se puede esperar hasta a≥0 y luego usar (t−a)², con derivada cero en el empalme.
No hay unicidad.
Para cualquier a≥0 se puede esperar hasta t=a y luego usar (t−a)². La unión tiene derivada cero en el instante de salida, de modo que aparecen más soluciones.
Los símbolos que hemos usado
- y′=f(t,y), y(t₀)=y₀
- Problema inicial para una función escalar o un vector de dimensión finita.
- Lipschitz en y
- ‖f(t,u)−f(t,v)‖≤L‖u−v‖ con una constante L uniforme en el rectángulo temporal y espacial considerado.
- M
- Cota de ‖f‖ en una región local compacta.
- h
- Longitud de tiempo local elegida para mantener la solución en la región.
- Gronwall
- Desigualdad que convierte una cota integral de una función no negativa en una cota exponencial.
- Intervalo máximo
- Mayor intervalo conectado con t₀ al que se prolonga la solución sin abandonar el dominio del problema.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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