Un sistema con 3 grados de libertad necesita ¿cuántas integrales independientes en Liouville?
Una por grado de libertad.
La integrabilidad de Liouville de n grados requiere n integrales funcionalmente independientes y en involución.
El número pedido es 3, recordando que el espacio de fases tiene dimensión6.
Para H=(p²+q²)/2 y nivel H=9/2, calcula el radio.
r²=2H.
El radio es 3.
Calcula {H,H}.
El corchete es antisimétrico.
El resultado es 0; la conservación de H autónomo es coherente.
Explica por qué un nivel crítico no cumple automáticamente el teorema acción-ángulo.
Falla independencia de diferenciales.
En un punto crítico, dH=0 o se pierde rango del conjunto de diferenciales.
Falla la regularidad requerida por Liouville–Arnold.
Por eso no se deducen allí automáticamente toros ni coordenadas acción–ángulo, aunque el sistema sea integrable en regiones regulares.
Distingue periodicidad y cuasiperiodicidad de dos ángulos.
Compara la razón de frecuencias.
Con dos frecuencias no nulas de razón racional puede encontrarse un tiempo que complete vueltas enteras de ambos ángulos.
Con razón irracional no existe un período común positivo y el movimiento es cuasiperiódico en el toro.
Ambos comportamientos son compatibles con integrabilidad; para más ángulos se revisan todas las relaciones enteras pertinentes.