Conservar energía ayuda a seguir una trayectoria, pero en un sistema grande no suele bastar. La integrabilidad de Liouville exige suficientes cantidades conservadas, independientes y compatibles. Veremos cada palabra con osciladores antes de llegar a toros y coordenadas acción–ángulo.
Si necesitas repasar:
1. Un grado de libertad usa una posición y un momento
En coordenadas canónicas (q₁,…,qₙ,p₁,…,pₙ), el espacio de fases tiene dimensión 2n. Un Hamiltoniano H determina 
. Trabajamos con funciones suaves y estructura simpléctica.
Una trayectoria es una curva en ese espacio, no solo el movimiento de q. Para H autónomo la energía se conserva. Un nivel de energía restringe la curva, pero puede contener muchas trayectorias y no determina toda una dinámica de varios grados.
Un oscilador de frecuencia dos
H=(p²+4q²)/2.
Ecuaciones
q′=p y p′=−4q.Candidato
Con q(0)=1, p(0)=0: q=cos(2t), p=−2sin(2t).Comprobar
q′=p, p′=−4q y H=2 para todo t.
Posición y momento recorren juntos una elipse.
El signo negativo de p′ produce oscilación, no crecimiento exponencial.
Contar dimensiones
Tres posiciones y tres momentos.
Fase
Hay seis coordenadas.
Grados
Se habla de tres grados de libertad.
Integrabilidad
Buscar tres integrales independientes es el conteo de Liouville, no seis.
Grados de libertad y dimensión del espacio de fases son números distintos.
El número de fórmulas escritas no garantiza independencia.
2. El corchete de Poisson comprueba conservación
.La regla de la cadena junto a Hamilton da dF/dt={F,H} cuando F no depende explícitamente de t.
.No se omite la derivada temporal en una cantidad que sí contiene t.
El corchete básico
F=q, G=p, en un grado.
Primer producto
_p=1·1=1.Segundo
_q=0·0=0.Restar
{q,p}=1; al intercambiar, {p,q}=−1.
El orden de F y G importa.
No es un producto ordinario conmutativo.
Una cantidad conservada con tiempo explícito
H=p²/2, F=q−tp.
Derivada explícita
∂ₜF=−p.Corchete
{F,H}=1·p−(−t)·0=p.Total
dF/dt=−p+p=0.
F recupera la posición inicial de una partícula libre.
Mirar solo su corchete no habría reconocido la conservación.
3. Liouville exige número, independencia e involución
Para n grados se requieren n integrales F₁,…,Fₙ independientes en la región regular y en involución: 
. Habitualmente una es H o H depende de ellas de manera pertinente. Independencia significa rango n de sus diferenciales.
Dos expresiones distintas pueden describir la misma restricción.
La involución permite flujos compatibles; conservar cantidades sin comprobar sus corchetes no basta.
Dos osciladores separados
H₁=(p₁²+q₁²)/2 y H₂=(p₂²+q₂²)/2; H=H₁+H₂.
Compatibilidad
Cada H usa variables diferentes, luego {H₁,H₂}=0.Conservación
{H₁,H}={H₂,H}=0.Independencia
Si ambos pares (qᵢ,pᵢ) son no nulos, sus diferenciales independientes tienen soportes distintos.
Hay dos integrales adecuadas en esa región regular.
En un oscilador detenido en el origen baja el rango.
Una lista engañosa
Se proponen H₁, H₁² y 7H₁ para tres restricciones.
Diferenciar
d(H₁²)=2H₁dH₁ y d(7H₁)=7dH₁.Rango
Todos están en la misma dirección de covectores.
Contar
El rango es como máximo uno, no tres.
Reescribir una cantidad no crea nuevas integrales independientes.
Puede bajar incluso a cero en un punto crítico de H₁.
4. Liouville–Arnold describe niveles regulares, compactos y conexos
Si un nivel conjunto no vacío de n integrales en involución es regular, compacto y conexo, el teorema de Liouville–Arnold lo identifica con un toro Tⁿ. En una vecindad adecuada existen coordenadas acción–ángulo.
Regular exige que los diferenciales sean independientes en ese nivel. Compacto excluye escapar indefinidamente dentro del nivel. Conexo selecciona una pieza. No se concluye que todo nivel, ni todo el espacio de fases, sea un único toro con coordenadas globales.
Un toro como producto de dos círculos
H₁=1/2 y H₂=2 para dos osciladores unitarios.
Primero
q₁²+p₁²=1: círculo de radio uno.Segundo
q₂²+p₂²=4: círculo de radio dos.Producto
Ambos positivos: nivel compacto, conexo y regular de dimensión dos, un T².
El toro de nivel contiene todas las parejas de fases posibles.
No es necesariamente la imagen recorrida por una sola trayectoria.
Integrable sin nivel compacto
Una partícula libre en q∈R, H=p²/2, nivel H=1/2.
Resolver
p=1 o p=−1.Cada pieza
q puede ser cualquier real: dos rectas no compactas.
Teorema
No se deduce un círculo porque falta compacidad.
Ser integrable no obliga a que todas las órbitas sean cerradas.
La hipótesis global no se sustituye por conservar H.
5. Las acciones fijan el nivel y los ángulos avanzan linealmente
En acción–ángulo, H=H(I), 
. Cada ángulo se toma módulo 2π. Las acciones son constantes y la dinámica consiste en girar con frecuencias que dependen del nivel.
Una acción es 
en un nivel E>0, con el ciclo orientado por el flujo. La integral mide el área encerrada dividida por 2π.
Medir una elipse
ω=2, E=2.
Semiejes
q máximo=√(2E)/ω=1; p máximo=√(2E)=2.Área
π·1·2=2π.Acción
I=2π/(2π)=1, también E/ω=1.
La acción integra una vuelta completa, no solo una semicircunferencia.
La orientación elegida hace positiva esta integral.
Reconstruir el movimiento
Para I>0, q=√(2I/ω)sinθ y p=√(2Iω)cosθ.
Hamiltoniano
Al sustituir, H=ωI.Dinámica
I′=0 y θ′=ω.Verificar
q′=√(2I/ω)cosθ·ω=p y p′=−ω²q.
La transformación explica la forma sinusoidal y su frecuencia.
En I=0 el ángulo deja de identificar una posición única.
6. Integrabilidad permite órbitas periódicas y cuasiperiódicas
Si ambas frecuencias no son cero y su razón es racional, hay un período común. Si su razón es irracional, no hay período positivo y la órbita es densa en el toro bidimensional.
En más dimensiones importan todas las relaciones enteras k·ω=0. Pueden confinar la órbita a un subtoro. Densidad no significa recorrer cada punto en un tiempo finito ni hace que la trayectoria se vuelva aleatoria.
Encontrar un período común
ω=(1,2).
Primer ángulo
En T=2π avanza 2π.Segundo
Avanza 4π, dos vueltas.
Cerrar
Ambos vuelven a la fase inicial y la órbita es periódica.
El toro completo tiene más puntos que esa órbita cerrada.
Los dos ángulos se interpretan módulo 2π.
Probar que no cierra
ω=(1,√2).
Si cerrara
T=2πm y √2T=2πn, con enteros y m≠0.Dividir
√2=n/m sería racional.Contradicción
No existe tal T; la órbita es cuasiperiódica y densa en T².
El sistema puede ser perfectamente integrable sin repetir su posición de fase.
En tres frecuencias hay que comprobar relaciones enteras, no solo una pareja.
7. Un nivel crítico puede cambiar de dimensión o contener una separatriz
En niveles positivos no se anula; en E=0 solo queda el origen y el diferencial es cero. No se aplican allí las coordenadas angulares de los círculos positivos como si nada cambiara.
En sistemas más ricos, los niveles críticos pueden contener equilibrios y separatrices. El teorema local regular no describe automáticamente esas piezas. La topología global también puede impedir una única elección de acciones y ángulos en todo el sistema.
Un círculo que colapsa
Dos osciladores: H₁=0 y H₂=1/2.
Primero
q₁=p₁=0: no queda círculo.Segundo
q₂²+p₂²=1: queda un círculo.Rango
dH₁=0; el nivel no cumple rango dos.
El producto es un punto por un círculo, no el toro regular T².
Que aún haya movimiento no restaura la hipótesis perdida.
El péndulo en su punto alto
H=p²/2+1−cos q, con q módulo 2π.
Equilibrio
q=π, p=0.Energía
H=2 y dH=(sin q,p)=(0,0).Consecuencia
Ese nivel incluye una pieza crítica; no es un nivel regular al que aplicar directamente Liouville–Arnold.
El comportamiento próximo a una separatriz exige otro análisis.
No basta comprobar solo que el valor de energía sea positivo.
8. Lax y las perturbaciones añaden herramientas, no garantías automáticas
Si una matriz cumple ![\dot L=[B,L]](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-058a309f44c2.svg)
, entonces tr(Lᵏ) se conserva por la propiedad cíclica de la traza. Son candidatas a integrales. Para deducir integrabilidad de Liouville aún hay que comprobar independencia, involución y su relación con la estructura de Poisson.
KAM estudia persistencia de ciertos toros bajo pequeñas perturbaciones con condiciones de regularidad, no degeneración y frecuencias. No afirma que todo toro sobreviva ni que toda perturbación destruya integrabilidad. En EDP, “integrable” puede referirse a estructuras de dimensión infinita con otro marco.
Una evolución por conjugación
L(t)=R(t)diag(1,3)R(t)ᵀ, donde R es una rotación y B=R′Rᵀ.
Derivar
Como (Rᵀ)′=−RᵀB, queda L′=BL−LB.Traza
tr L=1+3=4.Otras
det L=3 y tr(L²)=1+9=10 para todo t.
La ecuación conserva autovalores aunque cambien entradas.
Esos números por sí solos no verifican todas las hipótesis de Liouville.
Una perturbación que sigue siendo integrable
H₀(I)=(I₁²+I₂²)/2; añade εI₁I₂.
Ángulos
El nuevo H sigue sin depender de θ.
Acciones
I₁ e I₂ continúan constantes y en involución.
Frecuencias
Pasan a (I₁+εI₂,I₂+εI₁).
Perturbar un Hamiltoniano no implica automáticamente caos.
Para una perturbación que dependa de ángulos el análisis puede ser muy distinto.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un nivel de energía
Para H=(p²+q²)/2 y H=2, describe el nivel.
Hamiltoniano
H=(p²+q²)/2.Nivel
H=2 equivale a p²+q²=4.Geometría
Es un círculo centrado en el origen.
Radio
r²=4, luego r=2.Regularidad
dH=(q,p) no se anula en ese círculo.Comprobar
El origen tiene energía cero y no pertenece al nivel.
El nivel regular es un círculo de radio 2.
El origen H=0 es crítico y se excluye de ese nivel regular.
EJEMPLO RESUELTO 2
Dos energías compatibles
Con H₁=(p₁²+q₁²)/2,H₂=(p₂²+q₂²)/2, calcula {H₁,H₂}.
Variables
H₁ usa solo q₁,p₁; H₂ solo q₂,p₂.
Definir
El corchete suma un producto cruzado por cada índice.
Índice uno
Las dos derivadas de H₂ respecto a q₁,p₁ son cero.
Índice dos
Las dos derivadas de H₁ respecto a q₂,p₂ son cero.
Sumar
Todos los términos son cero: {H₁,H₂}=0.Comprobar
La involución está probada; independencia requiere además revisar los diferenciales en el nivel.
El corchete es 0.
La separación de variables garantiza involución.
Los símbolos que hemos usado
- n grados de libertad
- Espacio de fases de dimensión2n en el marco hamiltoniano.
- Primera integral F
- Función constante a lo largo de las trayectorias.
- {F,G}
- Corchete de Poisson que mide compatibilidad dinámica.
- Independencia funcional
- Los diferenciales de las integrales son linealmente independientes.
- Involución
- Todos los corchetes de un conjunto de integrales son cero.
- Nivel regular compacto
- Nivel conjunto con independencia de diferenciales y compacidad.
- I,θ
- Acciones constantes y ángulos periódicos de una descripción local.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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