Mecánica estadística y transiciones de fase

Un sistema canónico está en contacto con un baño a temperatura T>0, con volumen y número de partículas fijados en el modelo usual. Su energía puede fluctuar.

Definimos β=1/(), con constante de Boltzmann.

Cada microestado j de energía tiene peso .

Los pesos no son todavía probabilidades.

Se normalizan con y =/Z.

Para un conjunto finito de estados con energías finitas, Z>0. En infinitos estados hay que comprobar convergencia y, en un continuo, especificar la medida.

Si un nivel de energía E contiene g microestados, aporta a Z. Cada microestado tiene el peso correspondiente; la probabilidad del nivel es la suma de todos ellos. A temperatura alta se igualan pesos de microestados, no necesariamente de niveles agrupados.

Cambiar el origen →+c multiplica Z por e⁻ᵝᶜ y todos los pesos por el mismo factor. Las probabilidades no cambian. La energía media sí aumenta en c porque se expresa respecto a otro origen.

Si las energías no dependen de β, . Al dividir por Z resulta . Una segunda derivada da .

Con parámetros mecánicos fijos, .

El factor procede de dβ/dT=−1/(²).

Para sumas infinitas, derivar término a término exige justificación.

Usamos logaritmos naturales.

y .

El factor aporta las unidades de entropía.

No se elige siempre un único microestado de mínima energía a toda temperatura. Un conjunto numeroso de estados algo más caros puede tener mayor probabilidad total. El balance entre energía y multiplicidad se expresa en estas funciones.

Para niveles no degenerados cero y Δ>0, y U=Δ. Cuando T→∞, β→0 y ambos pesos tienden a uno. β=0 se interpreta como ese límite, no como una temperatura positiva finita.

Cuando T→0 por valores positivos, β→∞ y domina el nivel fundamental. Estos cambios no producen una singularidad a temperatura positiva en este sistema finito. Con degeneración también hay que contar cuántos estados sobreviven.

En un sistema finito, una suma finita de exponenciales positivas con energías regulares hace log Z suave para β real. Una transición termodinámica no analítica puede aparecer en un límite de tamaño N→∞, si existe. El escalado y la estabilidad de la interacción forman parte del problema.

Como ilustración matemática, toma dos configuraciones colectivas con energías −Nh y Nh y β=1.

Entonces y .

No es una demostración de transición de un modelo local real: muestra por qué el límite puede cambiar la suavidad.

En Ising ferromagnético, =±1 y , con J>0 y cada enlace contado una vez. La interacción favorece iguales; h favorece un signo. La distribución canónica sigue usando esos E y sus multiplicidades.

En una cadena de primeros vecinos no hay transición a temperatura positiva en el límite usual. En una red cuadrada bidimensional a campo cero sí puede haber fases ordenadas a baja temperatura. Dimensión, alcance, campo y fronteras son hipótesis del resultado.

En un Ising finito con h=0 y fronteras simétricas, invertir todos los espines conserva energía y cambia el signo de la magnetización m.

Eso no prueba que no haya correlaciones o que ⟨|m|⟩ sea cero.

En el límite infinito pueden distinguirse estados de fase con magnetizaciones opuestas, elegidos por campo o frontera.

La magnetización sirve como parámetro de orden en este caso; no todas las transiciones se describen con el mismo parámetro.

Antes de simular, listamos microestados, energías y degeneraciones, calculamos Z y normalizamos. Después comprobamos suma uno, medias y extremos de temperatura. Para subsistemas independientes, las particiones se multiplican y las energías se suman.

Para afirmar una transición se estudia tamaño creciente, límites, fronteras y errores numéricos. Cerca de criticidad pueden aparecer escalas y exponentes con universalidad bajo condiciones. Un cálculo de dos niveles fija la contabilidad, sin sustituir ese análisis.