Ecuaciones cinéticas y límites de muchos cuerpos

f(t,x,v)≥0 describe cantidad o probabilidad en regiones de posición y velocidad, según su normalización. La densidad espacial elimina la información de velocidad. Dos poblaciones con igual ρ pueden evolucionar de formas distintas.

Sin fuerza ni colisiones, .

Cada partícula mantiene velocidad. En ejemplos discretos usamos masas puntuales, interpretadas como medidas, para visualizar la misma idea; no fingimos que esas masas sean funciones densidad ordinarias.

A lo largo de ella, .

Para hallar el valor actual retrocedemos hasta x₀=x−tv: .

Para una densidad integrable en todo el espacio conserva masa. La fórmula puede leerse clásicamente con regularidad suficiente o mediante transporte de medidas.

Los momentos básicos son .

La energía cinética con masa de partícula uno usa . Cada integral necesita el momento correspondiente finito.

La dispersión alrededor de u se describe mediante . En una dimensión es una cantidad no negativa relacionada con presión. Ni la energía ni esa dispersión se determinan solo por ρ y j.

Con regularidad y momentos que permitan intercambiar operaciones, integrar en v da . También puede formularse débilmente usando funciones de prueba. La continuidad conserva masa local mediante un flujo.

Multiplicar antes por v introduce el segundo momento . En general la ecuación siguiente introduce un momento mayor. El cierre necesita una hipótesis o un teorema, no solo seguir integrando formalmente.

Con aceleración a(t,x) independiente de v, . Si el borde en velocidad desaparece, la fuerza no crea masa y aporta ρa al balance de impulso.

Si a depende de v, la forma conservativa es . Expandir el último término añade f·divᵥa. Una fricción puede comprimir volumen de fase y cambiar el valor de f a lo largo de trayectorias.

El operador de Boltzmann Q compara ganancia y pérdida de partículas en una velocidad por colisiones binarias. En el marco elástico y con integrabilidad y simetrías apropiadas, . Son conservación de masa, impulso y energía de colisiones.

Para soluciones positivas suficientemente regulares y un sistema cerrado, el teorema H hace no creciente la integral de f·log f. La entropía física tiene el signo opuesto. Núcleo de colisión, fronteras y régimen importan; no toda redistribución arbitraria es una colisión de Boltzmann.

En d dimensiones, , con ρ>0 y θ>0, tiene masa ρ, velocidad media u y dispersión térmica. En el operador elástico estándar está en equilibrio de colisiones.

Equilibrio de colisiones local no implica que todo el transporte esté en equilibrio. Usar Maxwellianas locales para cerrar momentos es una aproximación que necesita justificación. Límites hacia fluidos requieren escalas y estimaciones; escribir una gaussiana no demuestra por sí solo un límite de Navier–Stokes.

En campo medio, una fuerza agregada depende de la distribución, como a=K*ρ. En sistemas de N partículas aparece a menudo un factor 1/N en la suma de interacciones. Bajo hipótesis sobre fuerza y datos se estudia su aproximación por Vlasov y la propagación del caos.

Boltzmann–Grad hace crecer el número de partículas mientras disminuye su tamaño con una sección eficaz total controlada. Es otro régimen, con correlaciones y recolisiones que deben analizarse. Los teoremas especifican condiciones e intervalo temporal; no se presume validez universal de cualquier cierre para todos los tiempos.

La distribución conjunta de N partículas contiene dependencias. La marginal de una sola no determina la de dos. La jerarquía BBGKY refleja que la evolución de una marginal puede depender de la siguiente; sustituir una distribución conjunta por un producto es una afirmación adicional.

Propagación del caos significa, en modelos y límites apropiados, que marginales de un número fijo de partículas se aproximan a productos a partir de datos caóticos. No afirma independencia exacta de todas las partículas interactuantes en todo tiempo finito.