Para las matrices del primer resuelto, ¿entrada (1,1) del conmutador?
Lee la diagonal final.
Su diferencia tiene primera entrada diagonal1−0.
La entrada(1,1) es 1.
¿Traza del conmutador diag(1,−1)?
Suma la diagonal.
La traza suma las entradas diagonales.
Para diag(1,−1), se obtiene1+(−1).
El resultado es 0.
Si A=2I y B es cualquier matriz compatible, ¿cuánto vale la norma de [A,B]?
La identidad conmuta con todas las matrices.
La norma de la matriz cero es 0 para cualquier norma matricial.
¿AB=BA para cualquier par de matrices cuadradas? Sí o no.
El primer ejemplo es un contraejemplo.
Son matrices distintas y constituyen un contraejemplo.
La respuesta es no: no todo par cuadrado conmuta.
Demuestra tr(AB−BA)=0 en dimensión finita.
Escribe la doble suma de cada traza e intercambia índices.
Intercambiar los índices y el orden de las sumas finitas da tr(BA)=la misma expresión.
La finitud justifica el intercambio sin hipótesis de convergencia.