Geometrías no conmutativas

Si X es compacto Hausdorff, C(X) son sus funciones continuas complejas. Se suman y multiplican punto a punto, se conjugan y se miden con la norma supremo. El producto conmuta. Para dos puntos P,Q, una función es simplemente el par (a,b) de sus valores.

El teorema de Gelfand representa cada C*-álgebra conmutativa unital como C(X) para un compacto adecuado, su espacio de caracteres. Esta relación motiva estudiar espacios mediante álgebras. En la versión localmente compacta se usa C₀(X), que en general no tiene unidad.

La involución * conjuga escalares y revierte productos: .

Una C*-álgebra es un álgebra compleja de Banach con norma submultiplicativa e identidad . No basta una multiplicación no conmutativa cualquiera.

Las matrices Mₙ(ℂ) con adjunto conjugado traspuesto y norma de operador son un ejemplo.

No se llama observable autoadjunto a toda matriz de un cálculo algebraico; algunas, como las nilpotentes de los resueltos, no lo son.

El producto de la derecha actúa primero sobre un vector. El conmutador es cero exactamente cuando coinciden ambos productos. Asociatividad permite cambiar paréntesis, pero no intercambiar factores.

Además [B,A]=−[A,B] y una matriz escalar conmuta con todas las matrices del mismo tamaño.

Una *-representación conserva suma, producto y adjunto. Si es fiel, su núcleo es cero: elementos distintos actúan de forma distinta. La representación es parte de los datos, no una notación que pueda omitirse sin más.

En dimensión finita todos los operadores matriciales actúan en todo H. En dimensión infinita, un operador no acotado necesita dominio y condiciones de composición. Eso será importante para D; una cuenta con matrices no resuelve automáticamente esos problemas.

En C(X), integrar contra una probabilidad da un estado. En Mₙ(ℂ), todo estado tiene forma , con ρ positiva de traza uno.

Un carácter también debe ser multiplicativo; un estado no tiene por qué serlo. En un álgebra no conmutativa no se conserva sin cambios la imagen de todos los elementos como funciones escalares evaluables en puntos clásicos.

Un triple espectral consta de una *-álgebra representada en H y un operador autoadjunto D con resolvente compacto, por ejemplo (D−iI)⁻¹. Para cada a del álgebra se exige que [D,a], definido inicialmente en un dominio adecuado, se extienda a un operador acotado. En dimensión infinita D suele ser no acotado.

La identidad es una regla de Leibniz cuando se justifican dominios y productos. En modelos clásicos adecuados, el operador de Dirac liga esos conmutadores con derivadas. Un ejemplo finito permite calcular la regla sin problemas de dominio.

Para estados φ,ψ se considera . La restricción limita cuánto puede cambiar a según D. En triples clásicos de Dirac adecuados se recupera la distancia geodésica entre evaluaciones de puntos.

En nuestros dos puntos con D de acoplamiento 2, la condición es 2|r−s|≤1. La diferencia de evaluaciones es |r−s|; su máximo permitido es 1/2. Se calcula una distancia desde funciones admisibles sin buscar caminos.

Si un elemento autoadjunto distingue dos estados y conmuta con D, se puede multiplicar por cualquier constante sin violar ‖[D,a]‖≤1. La diferencia entre estados crece sin límite y la distancia es infinita.

En dimensión finita el resolvente es compacto y no hay dominios no acotados, pero esas condiciones solas no reconstruyen una variedad. Los teoremas de reconstrucción añaden condiciones de regularidad, finitud, orientación y otras. Índices y estructuras no conmutativas más amplias requieren estudio adicional.

En matrices finitas al intercambiar índices y factores escalares.

Para operadores infinitos se requieren hipótesis de traza y dominios antes de usar ciclicidad; no se suman series arbitrarias como si fueran finitas. Un cálculo con un elemento tampoco comprueba la definición entera de triple espectral para todos los elementos del álgebra.