¿Cuál es el grado de 3[P]−2[Q] sobre un cuerpo algebraicamente cerrado?
Suma coeficientes.
Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, cada punto cerrado tiene grado uno.
El grado de un divisor es la suma de los coeficientes con sus signos.
deg(3[P]−2[Q])=3−2=1, incluso si los puntos coinciden y se reúne el coeficiente.
Dos cúbicas planas proyectivas sin componente común: ¿cuál es el total de intersección?
Multiplica grados.
Cada cúbica tiene grado 3 y el enunciado excluye componentes comunes.
En el marco proyectivo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se aplica Bézout.
El total es 3·3=9, contando multiplicidades y puntos del infinito.
¿Cuál es el orden de cero de (t−4)³ en t=4?
Lee el exponente.
La función (t−4)³ es la tercera potencia de ese parámetro multiplicada por la unidad 1.
Por tanto su orden de cero es 3.
Calcula div(t²) en P¹.
Examina cero e infinito.
En la carta u=1/t, se escribe t²=u⁻² y tiene un polo de orden dos en u=0, el infinito.
No hay otras contribuciones; div(t²)=2[0]−2[∞] y el grado total es cero.
Explica por qué dos rectas afines paralelas no contradicen Bézout.
Completa el plano afín a P².
Bézout se formula en el plano proyectivo, mientras que la ausencia de corte de las paralelas se observa solo en la carta afín.
Al cerrar las dos rectas, sus ecuaciones homogéneas comparten el punto del infinito que representa su dirección común.
Ese punto tiene multiplicidad uno y aporta el total 1·1=1. No hay contradicción.