Un divisor guarda dónde una función tiene ceros o polos y con qué orden. Una intersección también puede guardar multiplicidad aunque se vea un solo punto. Empezaremos contando órdenes en la recta proyectiva, comprobaremos el papel de infinito y calcularemos una tangencia mediante un cociente de anillos.
Si necesitas repasar:
1. Un divisor es una suma formal: conserva signo y multiplicidad
En una curva suave, un divisor es una suma finita D=∑n_P[P] de puntos cerrados con coeficientes enteros. El soporte contiene los puntos con coeficiente no nulo. Es efectivo si todos los coeficientes son no negativos; los negativos permiten expresar polos.
El grado pondera por el cuerpo residual: ![\deg D=\sum_P n_P[\kappa(P): k]](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-272f32347197.svg)
. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, o para puntos racionales, esos grados son uno. En otro cuerpo no se sustituyen todos los puntos por raíces con coordenadas en la base.
El soporte no conserva toda la suma
P y Q racionales distintos, D=2[P]−3[Q].
Soporte
Son los dos puntos P, Q.
Coeficientes
P aparece con dos y Q con menos tres; D no es efectivo.
Grado
2−3=−1.Cambiar 2[P] por [P] conservaría el soporte y cambiaría el divisor y su grado.
La suma formal lleva más información que un subconjunto.
Los signos no se sustituyen por valores absolutos.
Un punto cerrado puede pesar más de uno
Sobre Q, P definido por t²+1 en A¹ y D=3[P].
Residuo
Q[t]/(t²+1)≅Q(i), de grado dos sobre Q.
Grado
El coeficiente tres se multiplica por dos: deg D=6.
Extensión
Sobre C ese punto se descompone en i y −i; ambos aportan multiplicidad tres y se recupera seis.
El grado residual evita perder puntos no racionales.
No se afirma que t²+1 tenga raíces en Q.
2. El orden local separa una potencia del parámetro y una unidad
En un punto cerrado de una curva suave, el anillo local es de valoración discreta. Con un parámetro π, cada función racional no nula se escribe πᵐu con u unidad. El entero m es su orden: positivo para cero, negativo para polo y cero para unidad.
Cambiar de parámetro por una unidad multiplicada no altera m. Los órdenes se suman al multiplicar y se restan al dividir. Eso hace el cálculo independiente de la escritura y permite cancelar factores comunes sin inventar ceros y polos adicionales.
Leer el orden después de separar los factores
f=(t−2)³/(t+1)² sobre Q.
En dos
El parámetro es t−2. El denominador vale nueve y es unidad; el orden es tres.
En menos uno
El numerador no se anula. El denominador contiene el parámetro t+1 al cuadrado; el orden es menos dos.
En otro punto finito
Si ninguno de los factores se anula, f es unidad local y tiene orden cero.
Se revisa qué factor es unidad en cada punto.
La evaluación que prueba unidad se hace antes de leer solo un exponente.
Los factores comunes no crean dos contribuciones distintas
g=(t−1)²/((t−1)(t+2)).
En uno
El orden del numerador es dos y el del denominador uno: el de g es uno.
Reducir
En el cuerpo de funciones g=(t−1)/(t+2), que da el mismo orden.Función racional
La presentación inicial excluye uno como fórmula ordinaria, pero la función racional reducida tiene allí un cero y una extensión regular.
Las restricciones de una presentación y la función racional que representa se distinguen.
No todo cero de un denominador escrito produce un polo después de cancelar.
3. El balance de ceros y polos requiere completar la curva
En una curva suave proyectiva su grado es cero: ceros y polos se equilibran con multiplicidad y grado residual. Es un teorema global con la hipótesis de completitud.
En la recta afín falta el punto infinito. Una función puede mostrar allí más ceros que polos porque el polo omitido no pertenece a la carta. Tampoco se aplica esta definición a la función idénticamente cero, cuyo orden no es un entero finito.
Encontrar el polo que la carta afín ocultaba
f=t en P¹.
Carta finita
Hay un cero simple en t=0 y no hay polos finitos.
Infinito
Con u=1/t, f=u⁻¹, un polo simple en u=0.Divisor
div(t)=[0]−[∞], de grado cero.
El balance se recupera incluyendo todas las cartas.
En A¹ se vería solo el cero, sin contradecir el teorema proyectivo.
Multiplicar una función multiplica sus órdenes
f=t².
En cero
El parámetro t aparece al cuadrado: orden dos.
En infinito
La expresión es u⁻²: orden menos dos.
Total
div(t²)=2[0]−2[∞]=2div(t).
El orden es aditivo en productos de funciones no nulas.
El grado total vuelve a ser cero.
4. El orden en infinito se calcula sustituyendo, no añadiendo un punto por intuición
Se obtiene uᵇ⁻ᵃ por una fracción con valor no nulo en u=0. Esa fracción es unidad y el orden en infinito es b−a.
La regla vale para funciones no nulas y usa los grados de los polinomios efectivos después de sus cancelaciones. Los factores irreducibles finitos completan la lista de órdenes. Comprobar grado cero ayuda a detectar si falta alguno.
Desarrollar una lista con varios ceros y polos
f=t³(t−2)/(t+1)² sobre Q.
Finitos
Los órdenes son tres en cero, uno en dos y menos dos en menos uno.
Sustituir infinito
Con u=1/t queda u⁻²(1−2u)/(1+u)².La fracción restante vale uno en cero y es unidad.
Divisor
3[0]+[2]−2[−1]−2[∞], cuyo grado es 3+1−2−2=0.
El polo de infinito tiene orden dos.
Se calculó con un parámetro local, además de la diferencia de grados.
Infinito también puede ser un cero
f=(t−2)²/(t+1)³.
Finitos
Cero de orden dos en dos y polo de orden tres en menos uno.
Infinito
La expresión u(1−2u)²/(1+u)³ tiene orden uno.
Balance
2[2]−3[−1]+[∞] tiene grado cero.
Un denominador de mayor grado produce aquí un cero en infinito.
No se supone que infinito siempre aporte un polo.
5. La equivalencia lineal relaciona divisores con funciones y haces de línea
D y E son linealmente equivalentes si D−E=div(f) para alguna función racional no nula. En curvas suaves proyectivas tienen entonces el mismo grado. La vuelta no vale automáticamente en toda curva: el grupo de clases puede conservar información adicional.
El haz O(D) admite secciones racionales g con div(g)+D≥0 localmente, incluyendo la sección cero. Un coeficiente positivo de D permite cierto polo; uno negativo exige más anulación. En una curva suave estos haces son de línea y conectan divisores con O(d) y su cohomología.
En P¹ dos puntos racionales son linealmente equivalentes
a≠b, función (t−a)/(t−b).
Órdenes finitos
Hay un cero simple en a y un polo simple en b.
Infinito
Los grados son iguales y el orden es cero.
Relación
El divisor es [a]−[b], por lo que [a] y [b] son linealmente equivalentes.
La equivalencia se demuestra con una función concreta.
No se infiere solo de que ambos tengan grado uno.
Un divisor positivo permite un polo acotado
D=2[∞] en P¹.
Puntos finitos
Una sección racional no puede tener polos finitos, así que es un polinomio en t.
Infinito
Un polinomio de grado m tiene orden −m; la condición −m+2≥0 pide m≤2.
Secciones
Se obtiene la base 1, t, t² de O(2[∞]), compatible con O(2).
El signo positivo de D permite polos y no los prohíbe sin límite.
Por ejemplo t³ no cumple la cota en infinito.
6. Weil cuenta componentes de codimensión uno; Cartier da ecuaciones locales compatibles
En un esquema integral noetheriano normal, un divisor de Weil es una suma finita de subvariedades de codimensión uno. Un Cartier se describe por funciones racionales locales no nulas que difieren por unidades en los solapamientos.
Un Cartier efectivo se corta por un no divisor de cero. En curvas suaves las descripciones coinciden. En esquemas singulares o reducibles no se sustituye la condición de no divisor de cero por el mero hecho de haber escrito una ecuación.
El parámetro de un punto suave da un Cartier efectivo
En A¹, el punto cero está cortado por t.
No divisor de cero
k[t] es un dominio y t≠0.Ecuación
El ideal (t) corta el punto y localmente da el parámetro.
Cambiar expresión
Multiplicar t por una unidad local no cambia el ideal ni el orden uno del divisor.
La ecuación local y el punto con multiplicidad uno describen lo mismo aquí.
La unidad debe serlo en la región usada, no necesariamente en una carta mayor.
Una ecuación puede fallar como Cartier efectivo si anula algo no nulo
R=k[x, y]/(xy), ecuación x=0.
Relación
x·y=0 en R.No nulidad
y no es cero, porque no pertenece al ideal (xy) antes del cociente.
Fallo
x es divisor de cero. Esa ecuación no define un Cartier efectivo, aunque sí un subsesquema cerrado.
Ser principal no basta para este tipo de divisor.
Se ha salido del marco integral de Weil; las hipótesis deben declararse.
7. La longitud del cociente mide cuánta intersección queda en un punto
Dos curvas sin componente común en una superficie suave tienen intersección propia de dimensión cero. En un punto aislado se usa la longitud del anillo local dividido por ambas ecuaciones. En un punto racional sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, coincide con su dimensión vectorial sobre k.
Un punto visible puede tener multiplicidad mayor que uno. Las relaciones del cociente distinguen un cruce de una tangencia. Las dimensiones de las bases siguientes se calculan después de imponer las dos ecuaciones.
Comparar cruce y tangencia
En el origen del plano, ejes x=0, y=0 y pareja y=0, y=x².
Cruce
Dividir por x e y deja k, con base uno y multiplicidad uno.
Tangencia
Dividir por y e y−x² deja k[x]_(x)/(x²).
Base
Quedan 1, x; son independientes y todos los términos superiores se anulan. La multiplicidad es dos.
Un punto puede aportar dos intersecciones contadas con multiplicidad.
No se cuenta la dimensión del plano inicial, sino la longitud del cociente local.
Un contacto de orden mayor aumenta la multiplicidad
y=0 e y=x³ en el origen.
Eliminar y
Las dos relaciones dejan x³=0.Cociente
k[x]_(x)/(x³) tiene base 1, x, x².
Longitud
La multiplicidad local es tres, aunque el soporte de la intersección sea un solo punto.
La potencia que sobrevive en la relación decide el espesor de la intersección.
Las curvas no comparten una componente: su encuentro es aislado.
8. Bézout cuenta multiplicidades en el plano proyectivo y sobre un cuerpo adecuado
Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, dos curvas planas proyectivas de grados d y e sin componente común tienen total de multiplicidades de intersección de. Es el enunciado clásico de Bézout. Proyectividad, multiplicidad y ausencia de componente común son hipótesis esenciales.
Los puntos pueden estar en infinito o necesitar una extensión del cuerpo inicial. Si hay una componente común, la intersección no es una lista finita de puntos y no se aplica ese conteo. Las auto-intersecciones en superficies generales requieren más teoría.
Una recta y una cónica pueden gastar todo el total en un punto
En P², Y=0 y YZ−X²=0.
Grados
La recta tiene grado uno y la cónica dos, sin componente común.
Puntos
Al imponer Y=0 queda X²=0.El único punto del soporte es [0:0:1].
Carta Z=1
Las ecuaciones son y=0 e y=x², ya calculadas con multiplicidad dos. El total es 1·2.
La tangencia cumple Bézout con un punto de multiplicidad dos.
No se fuerza la existencia de dos puntos distintos.
Dos rectas afines paralelas se encuentran al completar
y=0 e y=1, cierres Y=0 y Y−Z=0 en P².
Afín
No tienen un punto común con Z≠0.Infinito
Las ecuaciones obligan a Y=Z=0 y dan [1:0:0].Multiplicidad
En la carta X=1 las ecuaciones son y=0 e y−z=0, independientes.El cociente es k y la multiplicidad uno.
El total proyectivo es 1·1, como pide el teorema.
Mirar solo la carta afín habría omitido el encuentro.
9. La revisión final comprueba órdenes, cuerpo, cartas y componentes
Para un divisor principal se fija una función no nula, se calculan órdenes en todos los puntos relevantes y se revisa infinito. Si la curva es proyectiva, el grado cero es un control; no reemplaza cada cálculo local.
Para intersecciones se comprueban grados, ausencia de componente común, cuerpo y longitudes locales. Un dibujo real no siempre enseña todos los puntos algebraicos, ni una suma correcta prueba automáticamente que cada multiplicidad esté bien.
La falta de puntos reales no contradice un conteo complejo
Y=0 y X²+Y²+Z²=0.
Sobre R
Imponer Y=0 deja X²+Z²=0, sin solución proyectiva real.
Sobre C
Quedan los dos puntos [i:0:1] y [−i:0:1].
Multiplicidades
Los factores X−iZ y X+iZ son distintos en C. Cada intersección es simple y el total es dos.
El cuerpo del enunciado forma parte del cálculo.
No se aplica el conteo de puntos complejos como si fueran coordenadas reales.
Una componente común invalida el conteo finito
Y=0 y YZ=0.
Factores
La segunda curva es unión de Y=0 y Z=0.Común
Toda la recta Y=0 pertenece a ambas.Consecuencia
La intersección contiene infinitos puntos geométricos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. No es el caso de Bézout sin componente común.
Revisar la factorización precede a multiplicar grados.
La cifra dos no describe una intersección que contiene una recta.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Ceros y polos
En P¹, calcula div((t−1)/(t−2)).
Función
(t−1)/(t−2) es no nula; los dos factores no se cancelan.
En uno
El numerador tiene un cero simple y el denominador es unidad. Orden uno.
En dos
El denominador tiene un cero simple y el numerador es unidad. Orden menos uno.
Otros puntos finitos
Ambos factores son unidades y el orden es cero.
Infinito
Con u=1/t queda (1−u)/(1−2u), unidad en cero.No aporta orden.
Divisor
El resultado es [1]−[2], de grado 1−1=0.
[1]−[2].
El grado total es 1−1=0.
EJEMPLO RESUELTO 2
Contar intersecciones
Una recta y una cónica proyectivas sin componente común: ¿cuál es el total de multiplicidades?
Grados
La recta tiene grado uno y la cónica grado dos.
Hipótesis
Se trabaja en el caso proyectivo de Bézout, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y sin componente común.
Multiplicar
El total de multiplicidades es 1·2=2.Posibilidades
Pueden aparecer dos puntos simples o un punto de multiplicidad dos.
Tangencia
La cuenta local de y=0 e y=x² da precisamente esa multiplicidad dos en un punto.
Comprobar
Se cuentan también encuentros en infinito; no solo puntos distintos visibles en una carta.
El total es 2.
Una tangencia puede dar un punto con multiplicidad 2.
Los símbolos que hemos usado
- C
- Curva suave, proyectiva e integral sobre un cuerpo k en los enunciados globales de divisores.
- k(C)×
- Funciones racionales no nulas de C.
- ord_P(f)
- Orden entero de f en P: positivo para cero, negativo para polo.
- D=Σn_P[P]
- Divisor: suma finita formal de puntos cerrados con coeficientes enteros.
- deg D
- Σn_P[κ(P):k]; si k es algebraicamente cerrado, es la suma de coeficientes.
- div(f)
- Divisor principal de una función racional no nula.
- i_P(C₁,C₂)
- Multiplicidad local de intersección, bajo intersección propia en una superficie suave.
- Divisor efectivo
- Divisor cuyos coeficientes son todos no negativos.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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