Clasificar objetos no es lo mismo que contar las ecuaciones con que los escribimos. Además, una familia contiene cómo cambian los objetos y qué pasa al cambiar la base. Empezaremos separando esas preguntas, calcularemos direcciones con números duales y veremos una dirección válida al primer orden que no puede prolongarse al segundo.
Si necesitas repasar:
1. Un problema de módulos declara objetos, isomorfismos y familias admisibles
Primero se fija qué se quiere clasificar: curvas, haces, subespacios, operadores u objetos con marcas. Después se define qué cambios cuentan como isomorfismo. Una misma estructura puede tener muchas presentaciones por coordenadas.
Una familia sobre T incluye un objeto con base T cuyas fibras pertenecen a la clase permitida. En familias de esquemas se exige a menudo planitud y condiciones de finitud, pero pertenecen a la definición del problema. Una lista de ecuaciones con un parámetro no verifica automáticamente esas condiciones.
Dos matrices pueden presentar el mismo operador con otra base
A=diag(1,2) y B=diag(2,1) sobre Q.
Cambio
La matriz P que intercambia los dos vectores básicos satisface P⁻¹AP=B.
Objeto
Las coordenadas difieren, pero los operadores son isomorfos por ese cambio de base.
Contar
Contar las dos matrices como dos clases de operadores sobrecontaría presentaciones.
El tipo de isomorfismo se decide antes de contar parámetros.
Si una base ordenada fuera parte de la marca, el problema de clasificación sería diferente.
Una ecuación parametrizada sí puede verificarse como familia plana
k[t]→k[t, x]/(x²−t).
Módulo
La relación mónica reduce a a(t)+x b(t). La unicidad de resto da una base 1, x sobre k[t].
Planitud
Ser libre prueba planitud; ser de rango dos prueba finitud como módulo.
Fibras
Al fijar t=c queda k[x]/(x²−c).La familia y sus relaciones son datos completos, no solo una lista de raíces.
La variación es admisible en el problema que pide familias finitas planas de rango dos.
Las fibras pueden ser reducidas o no sin cambiar ese rango.
2. Cambiar la base sustituye parámetros y debe respetar la clasificación
Un mapa T′→T transforma una familia por producto fibrado. Las clases de familias deben transportarse de forma compatible con identidades y composiciones de cambios de base. Por eso se usa un funtor contravariante de bases, o una estructura de grupoides que conserve isomorfismos.
Si solo se guardan clases, las equivalencias deben ser sobre la misma base y con las marcas exigidas. Quitar o añadir una marca cambia qué automorfismos se permiten. No se consideran coeficientes aislados sin esa regla de transporte.
Sustituir un parámetro construye otra familia
En x²=t, hacer el cambio de base t=s².
Tensor
El nuevo anillo es k[s, x]/(x²−s²).
Fibras
En s=c queda x²=c²; la base nueva puede recorrer varias veces valores del parámetro anterior.
Compatibilidad
Si luego s se sustituye por u+1, se obtiene lo mismo que sustituir directamente t=(u+1)².
El cambio de base transporta las ecuaciones de manera functorial.
No se vuelve a elegir una familia sin relación con la original.
Una base infinitesimal prueba algo que las bases de un punto no muestran
Cambiar t a ε en A=k[ε]/(ε²).
Anillo
La familia se vuelve A[x]/(x²−ε).
Fibra especial
Reducir ε a cero da k[x]/(x²), con una identificación natural.
Finitud plana
La ecuación sigue siendo mónica y la base 1, x sigue funcionando sobre A.
Las bases no reducidas también participan en un problema de familias.
Spec A tiene un punto topológico, pero más funciones que Spec k.
3. Un espacio fino representa el funtor sobre todas las bases
Un esquema M de módulos fino representa el funtor de clases si mapas T→M y familias de F(T) están en biyección natural para cada T. La identidad de M corresponde a una familia universal; cualquier otra se obtiene por pullback.
Contar objetos sobre k solo revisa T=Spec k. No comprueba bases con más puntos, nilpotentes o pegados. La representabilidad pide compatibilidad con todos los cambios de base del problema, no solo una parametrización bonita de ejemplos aislados.
La recta afín representa la elección de una función global
Para cada esquema T sobre k, elegir una sección a∈Γ(T, O_T).
Mapa
Un mapa T→A¹_k determina la imagen a de la coordenada universal x.Inverso
Una sección a define el homomorfismo k[x]→Γ(T, O_T), x↦a, y el mapa al afín.
Naturalidad
Restringir o cambiar la base transporta a exactamente por pullback. La coordenada x es el dato universal.
Aquí sí se ha descrito la regla para cada base.
La afirmación usa la correspondencia de mapas hacia un esquema afín.
Dos mapas infinitesimales pueden coincidir en el punto subyacente
T=Spec k[ε]/(ε²), mapas a A¹ con x↦a+bε.
Punto
Al reducir a k, todos los valores de b dejan el mismo punto a.
Funciones
Si b cambia, la imagen de x en el anillo cambia, así que son mapas distintos.
Módulos finos
Una clasificación que solo recordase a perdería esos datos de familia y no cumpliría la propiedad representativa anterior.
Un mismo punto geométrico puede tener muchas direcciones infinitesimales.
No se cuenta b como un nuevo punto topológico de T.
4. Los automorfismos son información que una lista de clases puede perder
Un espacio grueso puede clasificar puntos geométricos hasta isomorfismo y cumplir una propiedad universal de mapas sin representar todas las familias por una universal. Los stacks conservan objetos, isomorfismos y sus compatibilidades de descenso.
Los automorfismos son una señal de que debe revisarse la descripción fina, sin ser por sí solos una prohibición lógica para cualquier funtor imaginable. A veces añadir marcas elimina simetrías; hace falta probar qué consigue en el problema concreto.
Una única clase de objetos puede tener muchas simetrías
Espacios vectoriales de dimensión uno sobre k.
Clases
Todos son isomorfos a k.
Automorfismos
Cada multiplicación por λ∈k× es un automorfismo distinto.Información
Un conjunto con una sola clase no registra ese grupo de simetrías. Una clasificación por grupoides sí lo conserva.
Objetos hasta isomorfismo y objetos con sus isomorfismos son datos distintos.
No se deduce una teoría completa de módulos a partir del número uno.
Las fibras iguales no hacen trivial una familia de rectas
Haces de línea O y O(1) en P¹.
Fibras
En cada punto, ambos son espacios vectoriales de dimensión uno sobre el cuerpo residual.
Globales
H⁰(O) tiene dimensión uno y H⁰(O(1)) dos, por el cálculo de las dos cartas.
No isomorfos
Un isomorfismo de haces induciría un isomorfismo en H⁰. Estas familias no son la misma aunque sus fibras individuales tengan el mismo tipo.
Una clasificación de fibras aisladas no representa automáticamente familias sobre P¹.
Elegir una trivialización global sería una marca adicional que O(1) no admite.
5. Los números duales conservan exactamente una capa infinitesimal
El mapa ε↦0 define su fibra especial Spec k. Un punto infinitesimal de X centrado en p es un mapa Spec A→X cuya restricción a esa fibra es p.
En coordenadas, cada x_i se escribe p_i+εv_i. Los v_i son candidatos a direcciones; hay que sustituirlos en todas las ecuaciones de X. Que ε² sea cero no hace cero a ε ni a cada coeficiente v_i.
Una ecuación no reducida puede permitir cualquier dirección de primer orden
X definido por x²=0 y p=0.
Candidato
x=aε para un a∈k.Sustituir
x²=a²ε²=0 para cualquier a.Conclusión
Todas las direcciones a son válidas al primer orden, aunque X tenga un único punto topológico.
El espacio tangente detecta una dirección que los puntos ordinarios no muestran.
No se interpreta aε como cero salvo que a=0.
La parábola restringe una de las coordenadas
X: y=x², p=(2,4), x=2+aε, y=4+bε.
Expandir
(2+aε)²=4+4aε+a²ε²=4+4aε.Comparar
La igualdad de coeficientes exige b=4a.Direcciones
Queda un parámetro libre: (a,4a). Sobre R es la dirección de pendiente cuatro.
La condición se obtuvo de la relación, no solo de un dibujo.
En otra característica los enteros dos y cuatro se interpretan en k.
6. La linealización es una identidad exacta cuando ε²=0
.Los términos con dos o más factores ε desaparecen; df_p(v) suma derivadas parciales en p por las componentes de v. No se está aproximando mediante un límite analítico.
Si p satisface las ecuaciones, quedan las condiciones lineales df_j, p(v)=0. El espacio tangente tiene dimensión número de coordenadas menos rango del jacobiano. En característica positiva ese rango puede cambiar.
Una ecuación de círculo impone una condición lineal
x²+y²=1 en p=(1,0), característica distinta de dos.
Sustituir
x=1+aε, y=bε produce 1+2aε.Igualar
Para obtener uno se exige 2a=0, luego a=0.Espacio
b es libre y la tangente tiene una dimensión, dirección vertical.
El rango de la ecuación lineal es uno.
La hipótesis sobre dos se usó al deducir a=0.
La característica puede cambiar ese mismo cálculo
La ecuación x²+y²=1 en característica dos, mismo punto.
Derivadas
2x y 2y son cero.
Primer orden
La sustitución da uno para cualquier a, b porque el término lineal desaparece y ε²=0.
Dimensión
El espacio tangente es k². La ecuación además es (x+y−1)² en característica dos y conserva estructura no reducida.
No se traslada la intuición del círculo real sin revisar la base.
El cambio se ve tanto en la expansión como en la factorización.
7. Mover un punto de X y deformar el propio X son problemas distintos
T_pX mantiene fijo el espacio y busca puntos sobre bases infinitesimales. Una deformación de X₀, en cambio, cambia el espacio sobre una base y lleva una identificación de su fibra especial con X₀, además de condiciones como planitud.
La teoría del complejo cotangente y de grupos derivados organiza automorfismos, direcciones y obstrucciones de esos funtores. Sus fórmulas dependen del objeto, marcas e hipótesis. No se identifica automáticamente todo espacio tangente de módulos con el de una presentación afín arbitraria.
Un punto infinitesimal no cambia la ecuación del espacio
En X: x²=0, mapa x↦aε.
Espacio fijo
El anillo de X sigue siendo k[x]/(x²).
Lo que varía
Se elige un mapa desde Spec A hacia ese mismo X.
Pregunta
El parámetro a describe T₀X. No es por sí solo una familia que cambie X₀ como esquema.
La dirección de punto y la familia de esquemas tienen tipos distintos.
Se especifica cuál es la base y cuál el espacio que permanece fijo.
Una deformación cambia la relación y recupera el esquema especial
B=A[x]/(x²−ε), A=k[ε]/(ε²).
Base
Spec B→Spec A es la familia; se permiten funciones de la base en la ecuación.
Planitud
La relación mónica da una base 1, x de B sobre A, así que es plana.
Fibra
B/εB=k[x]/(x²), con su identificación como X₀.
Esta sí es una deformación del punto doble con fibra especial marcada.
La planitud se demostró, no se supuso por escribir un parámetro.
8. Cambiar coordenadas puede eliminar parámetros de una ecuación deformada
En característica cero, x²+ε(a+bx)=0 define una familia libre de rango dos sobre A. El cambio x′=x+(b/2)ε fija la coordenada de la fibra especial y cumple x′²=x²+bεx.
Por tanto b era un parámetro de presentación eliminable mediante un isomorfismo permitido. Este cálculo concreto no prueba una fórmula universal para todos los problemas de deformación; muestra por qué contar coeficientes sin revisar cambios de coordenadas sobrecuenta.
Eliminar un término sin cambiar la fibra identificada
Sobre Q, ecuación x²+ε(3+4x)=0.
Cambio
Tomar x′=x+2ε, con inversa x=x′−2ε.Sustituir
x′²=x²+4εx, porque ε²=0.Relación
La ecuación equivale a x′²+3ε=0.Módulo ε el cambio es identidad, así que respeta la marca de la fibra especial.
El coeficiente cuatro no era una dirección independiente de esta presentación.
Se ha escrito un cambio invertible y compatible con la base.
La familia x²=ε no es la familia constante del punto doble
Sobre Q, comparar B=A[x]/(x²−ε) y C=A[x]/(x²).
Total de B
Eliminar ε mediante ε=x² da B≅Q[x]/(x⁴).La clase x tiene cubo no nulo y cuarta potencia cero.
Total de C
En Q[ε, x]/(ε², x²), todo nilpotente pertenece a (ε, x), y el cubo de ese ideal es cero.
Distinguir
Los anillos totales no son isomorfos: uno tiene un nilpotente de índice cuatro y el otro no. Sus fibras especiales sí coinciden.
La igualdad de fibra no trivializa la deformación.
En C algunos nilpotentes tienen cuadrado no nulo; lo que se usa es que todos tienen cubo cero.
9. Una dirección válida al primer orden puede tener una obstrucción al segundo
En xy=0, con centro en el origen, x=aε e y=bε satisfacen siempre la ecuación módulo ε². Por eso el espacio tangente es k², aunque la curva sea la unión de los dos ejes.
El producto es abε² módulo ε³, independiente de A, B.
La linealización anterior no podía verla.
Una dirección diagonal encuentra una obstrucción
a=b=1.
Primer orden
ε·ε=0 módulo ε², así que la dirección es válida.Segundo
(ε+Aε²)(ε+Bε²)=ε² módulo ε³.Fallo
ε² no es cero en k[ε]/(ε³), y ninguna elección de A, B lo elimina.
La dirección (1,1) no se prolonga al segundo orden.
No se identifica una dirección tangente con una trayectoria real de la curva.
Una dirección de una rama sí se prolonga
a=1, b=0.
Primer orden
x=ε, y=0 satisface xy=0.Órdenes superiores
Las mismas fórmulas funcionan en k[ε]/(εⁿ) para cualquier n.
Sin obstrucción aquí
El producto sigue siendo literalmente cero.
La dirección recorre la rama y=0.
No todas las direcciones de este mismo espacio tangente tienen el mismo comportamiento posterior.
El ejemplo favorable no elimina la obstrucción de la dirección diagonal.
10. Tangentes, obstrucciones y representabilidad responden preguntas diferentes
Un cálculo tangente determina datos de primer orden, pero no demuestra por sí solo que exista un espacio de módulos fino o que todas las direcciones se prolonguen. Una familia universal pide naturalidad sobre las bases del problema; una extensión a órdenes superiores pide resolver nuevas ecuaciones.
Al revisar una clasificación se anotan objetos, isomorfismos permitidos, condiciones de familia, cambios de base y marcas. Después se distinguen parámetros de presentación, clases de primer orden y posibles obstrucciones. Los ejemplos dan pruebas concretas de por qué ninguna de esas etapas se sustituye por un conteo rápido.
Un parámetro de una matriz puede desaparecer al cambiar de base
A_s=[[1, s],[0,2]] sobre Q.
Base alternativa
Los vectores (1,0) y (s,1) forman una base: su matriz P_s tiene determinante uno.
Operador
A_s(1,0)=(1,0) y A_s(s,1)=2(s,1).En esa base su matriz es diag(1,2).
Equivalencia
Todas las A_s son conjugadas. El parámetro s cambia la presentación y no la clase de este operador.
El número de coeficientes no es una dimensión de módulos demostrada.
La identidad A_s P_s=P_s diag(1,2) comprueba el cambio de base.
Una base infinitesimal contiene más preguntas que un punto
El problema xy=0 en el origen.
Sobre k
Solo se ha elegido el origen como centro.
Sobre k[ε]/(ε²)
Aparecen todas las parejas (a, b) como direcciones.
Sobre k[ε]/(ε³)
La continuación exige ab=0.Esa restricción no estaba en la lista de datos de primer orden.
Probar una propiedad sobre una sola base no prueba la compatibilidad universal.
Los resueltos siguientes calculan puntos infinitesimales, sin presentarlos como una clasificación completa de deformaciones de curvas.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Tangente a una parábola
En y=x², calcula la dirección (a,b) permitida en el punto (1,1).
Centro
El punto (1,1) satisface y=x².Coordenadas infinitesimales
Escribir x=1+aε e y=1+bε, con ε²=0.Expandir
x²=1+2aε+a²ε²=1+2aε.Comparar
La igualdad y=x² exige b=2a.Direcciones
El conjunto permitido es {(a,2a): a∈k}.Control
Sobre R la derivada de x² en uno es dos, coherente con la misma dirección.
Las direcciones son (a,2a).
La pendiente tangente clásica también es 2.
EJEMPLO RESUELTO 2
Singularidad infinitesimal
En x²=0, calcula las direcciones permitidas en x=0.
Espacio
La ecuación es x²=0 y el centro es x=0.Candidato
Un punto infinitesimal centrado allí tiene x=aε.Sustituir
x²=a²ε².Relación de la base
ε²=0, así que la ecuación se satisface para todo a.
Espacio tangente
Toda a∈k es una dirección permitida.Alcance
La dirección conserva información no reducida de primer orden; no afirma que cada una se prolongue a todos los órdenes.
Toda a∈k es una dirección tangente.
El espacio tangente detecta información no reducida.
Los símbolos que hemos usado
- T
- Esquema base sobre el que se considera una familia de objetos.
- F(T)
- Objetos o clases de familias sobre T, con reglas de cambio de base.
- k[ε]/(ε²)
- Números duales: elementos a+bε con ε²=0 y ε no nulo.
- T_pX
- Espacio tangente en un punto k-racional p de un esquema X sobre k.
- df_p(v)
- Parte lineal de la variación de la función f en p en dirección v.
- Deformación marcada
- Familia infinitesimal acompañada de una identificación de su fibra especial con el objeto fijado.
- Automorfismo
- Isomorfismo de un objeto consigo mismo que preserva las estructuras exigidas.
- Obstrucción
- Condición que impide prolongar una deformación a una base infinitesimal más gruesa.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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