Una fórmula racional puede funcionar fuera de algunos puntos y aun así comparar dos modelos de la misma geometría genérica. Veremos cuándo las fórmulas inversas son válidas, por qué una parametrización no siempre es un isomorfismo global y cómo la explosión de una cúspide añade la dirección que antes faltaba.
Si necesitas repasar:
1. Un mapa racional se define primero en un abierto denso
Para variedades integrales, un mapa racional se representa por un morfismo sobre un abierto denso. Dos representantes son equivalentes si coinciden en un abierto denso común. Una fórmula con denominador declara inicialmente dónde ese denominador es invertible; extenderla a los puntos omitidos requiere otra prueba.
Un mapa racional dominante tiene imagen densa e induce una inclusión de cuerpos de funciones en dirección contraria. Sin dominancia, una función no nula del destino puede convertirse en cero y no admitir el transporte de su inversa.
Una fórmula puede extenderse al cambiar el espacio destino
t↦1/t desde la recta afín.
Como mapa a A¹
Está definido en D(t), no en el origen. Una expresión regular a(t)/b(t) cerca de cero exigiría b(0)≠0; si fuera 1/t, la igualdad ta=b daría b(0)=0.
Como mapa proyectivo
Intercambiar las dos coordenadas homogéneas define un automorfismo de P¹.
Puntos omitidos
Ese automorfismo intercambia cero e infinito. La fórmula afín no describía toda la situación.
El dominio de una presentación y una extensión geométrica se comprueban por separado.
No se evalúa 1/0 como un número dentro de k.
Un mapa constante no induce una inclusión de cuerpos de funciones
A¹→A¹, x↦c.
Funciones
La coordenada t del destino se transforma en la constante c.
Relación perdida
t−c es una función no nula del destino que llega a cero.
Cuerpo
Su inversa existe en k(t), pero cero no tiene inversa en k(x). El mapa no se extiende a una inclusión de esos cuerpos.
La dominancia es la hipótesis que impide ese problema.
La imagen del mapa constante es un punto cerrado y no es densa en A¹.
2. Birracionalidad pide inversas en abiertos densos, no necesariamente en todo el espacio
X e Y integrales sobre k son birracionales si tienen abiertos densos isomorfos; equivale a tener cuerpos de funciones isomorfos sobre k. Con fórmulas se dan los mapas racionales y se verifican las dos composiciones donde están definidas.
Un isomorfismo global implica birracionalidad. La vuelta puede fallar porque quedan divisores, puntos o singularidades fuera de esos abiertos. Ignorarlos para comparar cuerpos no afirma que carezcan de interés geométrico.
Quitar el origen conserva el cuerpo de funciones y cambia el modelo
A¹=Spec k[t] y G_m=Spec k[t, t⁻¹].
Abierto común
D(t) es denso en A¹ y es todo G_m. Las identidades de coordenada dan la equivalencia birracional.
Cuerpos
Ambos tienen cuerpo de funciones k(t).
No isomorfos
En k[t] las únicas unidades son constantes no nulas. En el Laurent t es una unidad no constante. Un isomorfismo de k-álgebras no puede crear esa diferencia.
Son birracionales y no isomorfos como esquemas sobre k.
La afirmación sobre unidades de k[t] se deduce sumando grados en un producto igual a uno.
Una carta densa no convierte una curva proyectiva en afín
P¹ y A¹.
Abierto
La carta X≠0 de P¹ es A¹ y es densa.Birracionalidad
La coordenada t da el mismo cuerpo k(t).
Globales
O(P¹)=k y O(A¹)=k[t], no isomorfos como k-álgebras.Los espacios no son globalmente isomorfos.
El comportamiento de las funciones globales detecta lo que la carta omitió.
La birracionalidad sí se ha probado con un abierto concreto.
3. La parábola tiene inversa polinómica global; la cúspide solo la tiene racional fuera del origen
Proyectar a la coordenada x recupera t en todo el espacio, de modo que es un isomorfismo con A¹.
La cúspide y²=x³ se parametriza por (t², t³), con inversa t=y/x cuando x≠0. En el origen esa expresión no se usa como función regular. El anillo k[t², t³] no contiene t, aunque ambos anillos tengan cuerpo de fracciones k(t).
Verificar las dos composiciones de la parábola
φ(t)=(t, t²), ψ(x, y)=x.
En la recta
ψ(φ(t))=t.En la curva
φ(ψ(x, y))=(x, x²)=(x, y) por su ecuación.Regularidad
Las dos fórmulas son polinómicas y valen en todos los puntos. No hace falta retirar el origen.
Se obtiene un isomorfismo global, no solo birracional.
La ecuación de la curva interviene en una de las composiciones.
Verificar la inversa de la cúspide donde sí existe
Sobre Q, t↦(t², t³), en D(x).
Ecuación
(t³)²=(t²)³, así que la parametrización llega a la cúspide.Recuperar
Para t≠0, y/x=t³/t²=t.Volver
Si x≠0 e y²=x³, entonces (y/x)²=x y (y/x)³=y.Las composiciones son identidad en esos abiertos.
La parametrización es birracional.
Estas divisiones no demuestran una inversa regular en el origen.
4. La normalización añade funciones integrales que faltan en el cuerpo ya existente
En el origen de la cúspide sobre Q, la dimensión local es uno y las clases de x e y en m/m² dan dos direcciones porque la relación no tiene término lineal. Ese anillo local no es regular.
La normalización toma la clausura integral en el cuerpo de funciones. Para k[t², t³], t=t³/t² está en el cuerpo, satisface T²−t²=0 y no está en el anillo inicial. Añadirlo da k[t], íntegramente cerrado. Normalizar y explotar un ideal son construcciones distintas, aunque coincidan en algunos resultados de curvas.
Probar que falta una función sin contar solo puntos
R=k[t², t³]⊂k[t].
Exponentes
Los monomios de R tienen exponentes 0,2,3,4,… . No hay término de grado uno.
Integralidad
El elemento t satisface una ecuación mónica con coeficiente t²∈R.
Defecto
R no es íntegramente cerrado en k(t), mientras k[t] sí lo es. La inclusión no es un isomorfismo de anillos.
Una parametrización que recupere puntos puede cambiar las funciones regulares.
La propiedad de clausura integral también impide un isomorfismo abstracto entre estos anillos.
La normalización conserva aquí la dimensión y mejora la curva
R⊂S=k[t].
Finitud
S=R+Rt: toda potencia par está en R y toda impar se obtiene multiplicando t por una potencia par.
Cuerpo
Ambos tienen fracciones k(t). La extensión es finita e integral, así que ambos tienen dimensión uno.
Modelo
Spec S es una recta regular. El punto singular de Spec R ha sido reemplazado por información regular de la parametrización.
Birracionalidad conserva el cuerpo, pero no regularidad de todos los puntos.
No se generaliza que normalizar resuelva cualquier singularidad de dimensión superior.
5. Explotar el origen del plano añade una dirección proyectiva
La explosión del origen de A² se describe dentro de A²×P¹ por xb=ya, donde [a: b] es la dirección. La proyección al plano conserva (x, y). Fuera del origen la ecuación determina [a: b]=[x: y], de modo que allí es un isomorfismo.
Esa fibra es el divisor excepcional E. La construcción general usa Proj del álgebra de potencias del ideal del centro; no afirma que explotar cualquier esquema produzca automáticamente uno suave.
Fuera del centro la dirección está determinada
Punto (2,6) sobre Q.
Dirección
[a: b]=[2:6]=[1:3].Ecuación
2·3=6·1, así que pertenece a la incidencia xb=ya.Unicidad
Cualquier [a: b] que cumpla esa igualdad es la misma dirección proyectiva. No hay una nueva fibra de elecciones allí.
La modificación solo añade direcciones nuevas sobre el centro.
Se compara una razón homogénea, no dos números a y b fijados individualmente.
Sobre el centro aparece una fibra completa
Punto (0,0).
Ecuación
0·b=0·a para cualquier [a: b].Dos ejemplos
[1:0] y [0:1] dan dos puntos distintos de la fibra, junto con todas las demás direcciones.
No isomorfismo
Un isomorfismo con el plano no tendría varios puntos distintos sobre ese mismo punto. La explosión sí es birracional por el abierto exterior.
El origen se reemplaza por P¹ de direcciones.
No se reemplaza cada punto del plano por una recta proyectiva.
6. Las dos cartas incluyen pendientes finitas y la dirección vertical
La carta tiene coordenadas (x, u), mapa (x, u)↦(x, xu) y E dado por x=0. Si b≠0, ponemos v=a/b y obtenemos x=vy, con coordenadas (v, y) y E dado por y=0.
En la primera carta u sigue siendo coordenada cuando x=0; no se define allí dividiendo y entre x en el plano original. Esa coordenada guarda precisamente la dirección que se acaba de añadir.
Una pendiente finita persiste sobre el origen
Primera carta, u=3.
Con x≠0
El punto (x,3) llega a (x,3x), con pendiente tres.
Con x=0
El punto (0,3) sigue existiendo en la carta y llega al origen.
Dirección
Su información extra es [1:3], aunque y/x no pueda evaluarse como una fracción en (0,0) del plano.
El cambio de espacio hace válida una coordenada que antes faltaba.
No se ha decidido que cero dividido entre cero valga tres.
La segunda carta guarda la dirección que la primera no cubre
v=0 en la carta (v, y).
Mapa
(0, y) llega a (0, y), sobre la dirección vertical [0:1].
Excepcional
Con y=0 se obtiene el punto vertical de E.Solapamiento
Ese punto no está en a≠0.Donde v≠0 sí se traduce con u=1/v y x=vy.
Las dos cartas son necesarias para toda la P¹ excepcional.
La relación recíproca solo se usa donde ambos parámetros son invertibles.
7. La transformada estricta se obtiene cerrando fuera del centro, no cancelando como si todo fuera unidad
Se sustituye la expresión de la carta para obtener la transformada total. Puede contener factores que se anulan en E. La estricta es el cierre de la preimagen de la curva fuera del centro; en estos ejemplos se retira el factor excepcional mediante saturación.
.Después se toma el cierre. No se afirma que x fuese unidad en todos los puntos de la carta.
Comparar las dos preimágenes de la cúspide
Transformada total x²(u²−x)=0.
Total
Todo E: x=0 pertenece a esa ecuación, para cualquier u.
Estricta
El cierre desde x≠0 tiene ecuación u²−x=0.Encuentro
Sobre E, la estricta exige u²=0 y su soporte tiene u=0.No contiene todo el excepcional.
Total y estricta no son el mismo subsesquema.
La retirada del factor se justificó en el abierto y después por cierre.
Dos ramas distintas pueden separarse en el excepcional
Sobre Q, curva y²−x²=0.
Sustituir
En y=xu aparece x²(u²−1).Estricta
Queda (u−1)(u+1)=0, las dos ramas u=1 y u=−1.Excepcional
Cada rama corta x=0 en un punto distinto y de manera transversal: el cociente por x y u∓1 es Q.
Las direcciones diferentes se vuelven puntos diferentes del excepcional.
Esta curva es reducible y se usa para calcular transformadas, sin aplicar a toda ella la definición inicial de variedad integral.
8. La estricta de la cúspide es suave, pero aún es tangente al excepcional
La ecuación estricta x=u² da una curva parametrizada por u↦(u², u) en las coordenadas de la carta. La derivada de x−u² respecto de x es uno, así que es suave. Su proyección al plano original es u↦(u², u³).
Suavizar la curva y conseguir que la unión con el excepcional tenga cruces normales son objetivos distintos.
Calcular la suavidad con una coordenada libre
Estricta x=u².
Parámetro
Cada u determina exactamente x=u².Inversa
La proyección a u es una inversa regular de esa parametrización de la estricta.
Suavidad
La curva de esta carta es isomorfa a A¹ y no tiene la singularidad de la cúspide original.
Una explosión ya ha suavizado esta curva.
No se concluye nada todavía sobre cómo se cruza con E.
Medir el contacto que todavía queda
E: x=0 y estricta x=u² en el origen.
Cociente
Imponer ambas ecuaciones deja Q[u]_(u)/(u²).
Longitud
Su base es 1, u, así que la multiplicidad de encuentro es dos.
Consecuencia
Comparten tangente; no es un cruce transversal de multiplicidad uno. La resolución embebida con condición de cruces normales necesita más modificación.
El cálculo local precisa qué parte del objetivo falta.
Curva suave y unión con cruces normales no son la misma afirmación.
9. Una resolución especifica el modelo y el tipo de relación con el original
Resolver singularidades suele pedir un modelo regular relacionado por un morfismo propio birracional. Los teoremas generales dependen de dimensión, característica y clase de objetos. El ejemplo calculado no resuelve por sí solo el problema general en característica positiva.
La normalización, las explosiones y los modelos birracionales aportan datos diferentes. Esta entrada permite comprobar un abierto isomorfo, calcular cartas y distinguir transformadas y contactos; el programa de modelos mínimos y su teoría de singularidades requieren desarrollo adicional.
Comprobar el cuerpo de funciones de la explosión del plano
Primera carta y=xu.
De la carta al plano
x e y=xu pertenecen a k(x, u).Recuperar
En el cuerpo, x≠0 y u=y/x pertenece a k(x, y).Igualdad
Los cuerpos son isomorfos con esas dos sustituciones. La P¹ excepcional cambia el modelo sin añadir una variable independiente al cuerpo de funciones.
Las coordenadas de la carta no aumentan la dimensión birracional.
El cociente y/x se usa en el cuerpo o en el abierto apropiado.
Separar lo demostrado para la cúspide
Normalización y primera explosión.
Normalización
Añadir t produce la recta con mapa (t², t³), y mejora la función regular que faltaba.
Explosión
La primera carta da la estricta suave x=u² y registra además el divisor excepcional del plano ambiente.
Límite
La tangencia con E permanece. Se ha probado suavidad de la curva, no una resolución embebida completa ni un teorema para todas las variedades.
Cada construcción y cada objetivo tienen una comprobación propia.
La precisión evita llamar resuelto a un problema geométrico más fuerte.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una parábola racional
Prueba que y=x² es isomorfa a la recta afín.
Mapa
Definir φ: A¹→{y=x²} por t↦(t, t²).Llegada
Las coordenadas cumplen y=x² por sustitución.Inversa
Definir ψ(x, y)=x, una función polinómica.Primera composición
ψφ(t)=t.Segunda
φψ(x, y)=(x, x²)=(x, y) en la parábola.Conclusión
Ambos mapas son regulares en todo el espacio. Existe un isomorfismo global.
Existe incluso un isomorfismo global.
Todo punto de la parábola queda determinado por x.
EJEMPLO RESUELTO 2
Explosión de una cúspide
En y²=x³, usa la carta y=xu y halla la transformada estricta.
Carta
En la explosión se usa y=xu, con coordenadas x, u y excepcional x=0.Sustituir
y²−x³ se convierte en x²u²−x³=x²(u²−x).Fuera del centro
En x≠0 se puede retirar x² y la preimagen cumple u²−x=0.Cerrar
El cierre da la transformada estricta x=u², distinta de toda la preimagen x²(u²−x)=0.
Suavidad
u↦(u², u) es una parametrización con inversa proyección a u.
Alcance
La curva es suave en esa carta, pero todavía tangente a E en el origen.
La transformada estricta es x=u² en esa carta.
Se parametriza suavemente por u↦(u²,u).
Los símbolos que hemos usado
- X integral
- Variedad irreducible y reducida, con un cuerpo de funciones k(X).
- Mapa racional
- Clase de morfismos definidos en abiertos densos, considerados iguales si coinciden en un abierto denso común.
- Birracional
- Hay abiertos densos isomorfos sobre el cuerpo base; equivalentemente, cuerpos de funciones isomorfos sobre él.
- Bl₀(A²)
- Explosión del plano afín en el origen.
- E
- Divisor excepcional, preimagen del centro de la explosión.
- Transformada total
- Preimagen definida por sustituir las ecuaciones, con sus componentes y multiplicidades.
- Transformada estricta
- Cierre de la preimagen de la parte situada fuera del centro, en el caso de curvas considerado.
- Normalización
- Modelo obtenido incorporando elementos integrales que faltan en el cuerpo de funciones.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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