Si ∫ω=−4π, calcula (1/2π)∫ω.
Divide por 2π.
La normalización fijada define el número por (1/(2π))∫ω.
El valor es −2; el signo depende de la forma y de la orientación elegida.
Si un fibrado tiene curvatura nula, ¿cuál es su número de Chern real sobre una superficie?
Integra la forma cero.
Curvatura nula significa F=0, por lo que ω=iF también es cero.
Su integral sobre la superficie es cero y dividir entre 2π deja 0.
El número real de Chern es 0. En espacios con torsión, esta conclusión por formas no basta para anular una clase integral; en una superficie cerrada orientada la clase de grado dos no tiene esa torsión.
Si el número de Chern es 5, ¿cuánto vale ∫ω en unidades de π?
Multiplica por 2π.
La pregunta pide el coeficiente en unidades de π, que es 10, no la expresión 10π completa.
Explica por qué una integral π no puede dar esta normalización de curvatura global de línea en una superficie cerrada.
El número obtenido debe ser entero.
Bajo las hipótesis de fibrado complejo de línea, curvatura unitaria y superficie cerrada orientada, ese cociente debe ser un entero.
Como 1/2 no lo es, los datos no pueden cumplir simultáneamente todas esas hipótesis y esa normalización. No basta que la forma sea cerrada para que sea una curvatura global con período permitido.
Distingue una clase real nula de una clase integral necesariamente nula.
Piensa en torsión.
Una clase integral c puede tener torsión: existe m>0 con mc=0 aunque c≠0.
En cohomología real se puede dividir por m, por lo que su imagen debe ser cero.
Así una forma exacta o un representante real nulo solo anula la imagen real. Para deducir c=0 hace falta información adicional, por ejemplo ausencia de torsión en el grupo integral correspondiente.