Clases características mediante formas diferenciales

Una clase característica asigna al fibrado E una clase de cohomología y es natural: la clase de f*E se obtiene aplicando f* a la de E. Una clase positiva no nula impide trivializar E. Chern–Weil construye representantes diferenciales reales de ciertas clases a partir de una conexión.

Una forma cerrada ω cumple dω=0; cambiarla por ω+dα conserva su clase de de Rham. Sus integrales sobre ciclos cerrados no cambian por Stokes. Que algunas clases consideradas sean cero no es, en general, una prueba de trivialidad del fibrado.

Sus entradas aisladas no suelen ser formas globales. Un polinomio invariante P cumple P(h⁻¹Bh)=P(B) y por ello P(F) coincide entre cartas.

Cada factor F es una 2-forma. Si P es homogéneo de grado j, P(F) tiene grado diferencial 2j. Se multiplica usando producto exterior y producto matricial; no se trata F como una lista de números desconectados del grado de las formas.

Bianchi es =dF+A∧F−F∧A=0.

Al aplicar un polinomio invariante, los términos de conmutador se cancelan.

Para la traza, tr(A∧F−F∧A)=0: los grados uno y dos conmutan con signo positivo al ciclar la traza.

Así P(F) determina una clase en (M). La curvatura matricial puede tener dF≠0 y aun así obedecer Bianchi. La derivada covariante, no la ordinaria de cada entrada, es la identidad general.

Para dos conexiones en el mismo fibrado, B=∇₁−∇₀ es una 1-forma global con valores en endomorfismos.

La familia =∇₀+tB es otra conexión y =B.

Polarizando P de grado j se obtiene P()=d(jP(B, ,…, )).

Es la transgresión. La clase es independiente, aunque el representante y T puedan cambiar.

Para un fibrado hermítico complejo con conexión unitaria usamos . tiene grado exterior 2j y se anula para j mayor que el rango.

Las formas de grado par conmutan entre sí, por lo que el determinante tiene sentido en ese anillo graduado. La identificación de estas clases reales con las imágenes de las clases integrales es el teorema de Chern–Weil; la normalización no se deduce solo de expandir un determinante.

Por tanto =[ω/(2π)].

La curvatura real f=da del tema anterior lleva el signo contrario a esta ω.

Invertir la orientación de una superficie cambia el signo de su integral y de la evaluación c₁[S], pero no cambia por sí solo el fibrado ni su clase. Siempre se indican conexión, forma real y orientación antes de calcular un número.

Cubrimos S² por regiones norte y sur y fijamos en el ecuador. Para que la fase vuelva al mismo valor al sumar 2π, m debe ser entero.

Los potenciales reales cumplen −=m dφ.

Con orientación del ecuador como borde norte y ω=−da, Stokes da ω=∮(−)=2πm. Un modelo explícito usa colatitud θ: =(m/2)(cosθ−1)dφ y =(m/2)(cosθ+1)dφ. Cada expresión es suave en su polo correspondiente y ω=(m/2)sinθ dθ∧dφ.

La conexión suma directa tiene curvatura por bloques, así que c(E⊕E′)=c(E)c(E′). Para líneas, tensorizar suma curvaturas y dualizar cambia su signo: c₁(L⊗L′)=c₁(L)+c₁(L′), c₁(L*)=−c₁(L). El pullback conserva estas construcciones.

En un fibrado real orientado de rango par, el Pfaffiano normalizado produce Euler. Pontryagin se relaciona con las clases pares de Chern de la complejificación. Para el tangente de una superficie orientada, la forma de Euler es K dÁrea/(2π) y Gauss–Bonnet da su integral χ.

Si una clase integral c cumple mc=0 para m≠0, su imagen real satisface m =0 y por estar en un espacio vectorial =0. En variedades compactas, el núcleo del paso de cohomología integral a real es la torsión. Las formas de de Rham no la detectan.

Una conexión plana hace cero los representantes positivos de Chern–Weil, pero puede conservar holonomía. En una superficie cerrada orientada H² integral no tiene torsión; en otras bases no se puede deducir que una clase integral sea cero solo porque su imagen real lo sea.