Geodésicas y curvatura de superficies

En una curva de rapidez uno sobre una superficie orientada, T=γ′ es tangente y γ″ es perpendicular a T. Las dos direcciones perpendiculares relevantes son n, la normal de la superficie, y n×T, que sigue dentro del plano tangente.

kₙ es la curvatura normal y k𝓰 la curvatura geodésica con signo. Como esas direcciones son ortonormales, la curvatura espacial cumple κ²=kₙ²+k𝓰². Una trayectoria es geodésica si k𝓰=0: no tiene giro tangencial, aunque su aceleración normal sea no nula.

En un parámetro afín, una curva es geodésica cuando su aceleración tangencial es cero: ∇ₜγ′=0. En una superficie de ℝ³ equivale a que γ″ sea normal. Derivar la rapidez al cuadrado da 2γ′·γ″=0, así la rapidez es constante.

Cambiar el parámetro por t=as+b, con a no nulo, conserva esa ecuación. Un cambio no lineal añade un término tangencial proporcional a la velocidad. La imagen puede seguir siendo una trayectoria geodésica, pero ya no satisface la ecuación en parámetro afín. Para las curvas de rapidez no nula podemos usar longitud de arco.

En coordenadas x¹,x² escribimos gᵢⱼ para la primera forma y gⁱʲ para su matriz inversa. Los coeficientes de Christoffel describen la proyección tangencial de las segundas derivadas del parche. Las ecuaciones son ẍᵏ+ΣᵢⱼΓᵏᵢⱼẋⁱẋʲ=0, una para k=1 y otra para k=2.

Para cada i,j y ℓ, calculamos tres derivadas y las llamamos A=∂ᵢgⱼℓ, B=∂ⱼgᵢℓ y D=∂ℓgᵢⱼ. Las agrupamos como C(i,j,ℓ)=A+B−D: sumamos las dos primeras y restamos la tercera.

Ahora fijamos k,i,j. Calculamos dos productos: gᵏ¹C(i,j,1) y gᵏ²C(i,j,2). Sumamos los dos resultados y dividimos entre dos; el número obtenido es Γᵏᵢⱼ. Esta es la suma sobre ℓ=1,2 escrita paso a paso. Solo usa la métrica y sus derivadas, sin necesitar la normal en ℝ³.

También se obtiene con Euler–Lagrange de la energía L=(1/2)Σgᵢⱼẋⁱẋʲ. Derivar ∂L/∂ẋᵏ y ∂L/∂xᵏ, restar y multiplicar por gⁱʲ produce el factor un medio anterior. Con métrica suficientemente suave y positiva, posición y velocidad iniciales determinan localmente una única solución de este sistema de segundo orden.

La primera variación de longitud muestra que un camino suave que minimiza entre extremos fijos tiene k𝓰=0 en el interior. Con rapidez constante también podemos variar la energía (1/2)∫‖γ′‖²dt y obtener las ecuaciones geodésicas. Cauchy–Schwarz da energía≥longitud²/(2T), con igualdad para rapidez constante.

Los segmentos suficientemente cortos de una geodésica minimizan en un entorno adecuado. Una prolongación puede dejar de hacerlo, y entre puntos lejanos puede haber varias geodésicas o varios minimizadores. La ecuación diferencial expresa rectitud local; comparar longitudes de trayectorias completas es un paso adicional.

En el plano cartesiano la métrica es constante, todos los Γ son cero y la ecuación queda x″=y″=0. Sus soluciones son (x,y)=(a,b)t+(c,d): rectas a velocidad constante, incluida la solución constante si a=b=0.

En una esfera de radio R centrada en el origen, los círculos máximos son las intersecciones con planos que pasan por el centro. Si e₁,e₂ son ortonormales, γ(t)=R[cos(ωt)e₁+sen(ωt)e₂] tiene γ″=−ω²γ, paralela a la normal radial. La imagen es geodésica, aunque su dibujo en ℝ³ sea circular.

Invertir la normal invierte los dos factores y conserva su producto. Si K>0, ambos tienen el mismo signo; si K<0, signos contrarios; si K=0, al menos uno se anula.

El valor K=0 no obliga a que toda curvatura espacial sea cero. Un cilindro mantiene una dirección curva y otra recta. Tampoco basta que la curvatura media H=(k₁+k₂)/2 sea cero para ser plano: puede haber dos valores opuestos no nulos.

Aunque calculamos K mediante la normal, el teorema egregio de Gauss afirma que K se determina por la primera forma fundamental y sus derivadas. Una isometría local, que conserva esa métrica, debe conservar K. La afirmación requiere conservar la medida en un entorno, no solo igualar una matriz en un punto.

Este resultado distingue lo intrínseco de lo extrínseco. Enrollar un trozo de plano en un cilindro cambia su normal y su curvatura media, pero no su medida interna ni K. Aplanar una esfera con igualdad exacta de distancias locales es imposible, porque su K positivo no puede transformarse en el cero del plano.

Para X(u,v)=(Rcos(u/R),Rsen(u/R),v), u mide longitud alrededor y v altura.

Si a=0 son generatrices verticales; si b=0 y a no nulo son circunferencias horizontales; si ambos son no nulos, hélices. Una vuelta identifica u y u+2πR. El desarrollo conserva la geometría local, pero permite varias rectas con distintos números de vueltas que unen los mismos puntos del cilindro.

En una superficie compacta orientada con borde suave por tramos, Gauss–Bonnet afirma: ∫K dA+∫borde k𝓰 ds+Σθⱼ=2πχ. El borde lleva la orientación compatible y θⱼ son sus ángulos exteriores con signo. χ es la característica de Euler, calculable como vértices menos aristas más caras de una triangulación; vale uno para un disco y dos para una esfera.

Si la superficie es cerrada no hay borde ni esquinas. Si un triángulo geodésico limita una región disco, k𝓰=0 en sus lados y θⱼ=π menos el ángulo interior correspondiente. Al sustituir, la suma interior menos π es ∫K dA. Esta es la razón cuantitativa del exceso angular en la esfera, con región y orientación especificadas.