Una superficie puede recorrerse en dos direcciones. Sus coordenadas sirven para localizar puntos, pero sus números no dicen directamente cuánto mide un camino. Construiremos una regla de medida con los vectores tangentes, y otra que describa cómo se dobla la superficie. Plano, cilindro, cuenco y silla mostrarán la diferencia.
Si necesitas repasar:
1. Dos parámetros necesitan producir dos direcciones tangentes independientes
Una parametrización X(u,v) envía una región abierta del plano a ℝ³. Al variar u con v fijo obtenemos el vector Xᵤ; al variar v con u fijo, Xᵥ. La condición de regularidad es Xᵤ×Xᵥ≠0: esas direcciones deben ser independientes.
Para usar el parche como carta también lo restringimos a una representación local sin identificaciones y con inversa continua sobre su imagen. La regularidad es local; una fórmula puede repetir puntos al recorrer un dominio demasiado grande.
Un plano con coordenadas oblicuas
X(u,v)=(2u+v,v,0).
Derivar por separado
Xᵤ=(2,0,0), Xᵥ=(1,1,0).Producto
Xᵤ×Xᵥ=(0,0,2), nunca cero.Plano
Ambas direcciones generan el plano z=0.
Es un parche regular aunque sus ejes de parámetros no sean perpendiculares.
La inversa en el plano es v=y,u=(x−y)/2, por lo que no identifica dos parejas distintas.
Una parametrización que falla sobre un plano suave
X(r,θ)=(r cosθ,r senθ,0).
Derivadas
Xᵣ=(cosθ,senθ,0), Xθ=(−r senθ,r cosθ,0).Área
Su producto vectorial es (0,0,r).
En r=0
La fórmula pierde una dirección y muchos valores de θ representan el mismo origen.
El plano sigue siendo suave, pero esas coordenadas fallan en el origen.
Las coordenadas cartesianas (u,v,0) describen allí un parche regular; el fallo era de la representación.
2. Normalizar el producto vectorial elige un lado del parche
Es perpendicular a las dos direcciones y tiene longitud uno. Su opuesto también sirve: escoger uno fija una orientación local. Intercambiar parámetros puede invertir esa elección.
Por tanto las derivadas de la normal son tangentes a la superficie, pues el plano perpendicular a n es el plano tangente. Así podremos estudiar su cambio mediante un operador de ese plano en sí mismo.
El signo depende del orden
En el plano oblicuo X=(2u+v,v,0).
Orden u,v
El producto (0,0,2) normalizado da n=(0,0,1).Orden contrario
Xᵥ×Xᵤ=(0,0,−2) da −n.Geometría
El mismo plano puede orientarse hacia arriba o hacia abajo.
Cambió el lado elegido, no la superficie ni su métrica.
Las normas de ambos vectores normales son uno y los dos son perpendiculares a las tangentes.
Una normal que gira al rodear un cilindro
X(u,v)=(3cos u,3sen u,v).
Direcciones
Xᵤ=(−3sen u,3cos u,0), Xᵥ=(0,0,1).Producto
(3cos u,3sen u,0), de norma tres.
Normal
n=(cos u,sen u,0), exterior.Su derivada nᵤ=(−sen u,cos u,0) es tangente.
La normal cambia alrededor y permanece constante al subir verticalmente.
nᵥ=0 y n·nᵤ=0, como predice la identidad general.
3. La primera forma convierte cambios de parámetros en longitudes reales
Una curva sobre la superficie tiene forma γ(t)=X(u(t),v(t)).
La matriz métrica I=[[E,F],[F,G]] registra ese producto escalar. Para dos velocidades con componentes a,b, su producto es aᵀIb. La longitud de una curva se calcula integrando la raíz de su velocidad al cuadrado. El factor dos del término mixto proviene de los dos productos cruzados, no de una nueva definición de F.
La diagonal del cuadrado de parámetros no mide √2 en la superficie
Usa X=(2u+v,v,0), u(t)=v(t)=t, de cero a uno.
Coeficientes
E=4,F=2,G=2.Rapidez
u′=v′=1: v²=4+2·2+2=10.Longitud
L=√10.La imagen es γ(t)=(3t,t,0), cuyo desplazamiento tiene esa norma.
La métrica corrige la escala y la oblicuidad de los parámetros.
Tratar du²+dv² como medida aquí daría √2 y perdería la geometría del parche.
Calcular el ángulo de las direcciones coordenadas
En el mismo parche, compara Xᵤ y Xᵥ.
Producto
F=2.Normas
√E=2 y √G=√2.Coseno
cosθ=F/√(EG)=2/√8=1/√2.
Forman un ángulo π/4.
Los ejes u y v eran perpendiculares en el dominio, pero sus imágenes tangentes no lo son.
4. La misma métrica determina el área de cada pequeño paralelogramo
La independencia de Xᵤ,Xᵥ hace que ‖aXᵤ+bXᵥ‖² sea positiva para toda pareja (a,b) no nula.
Un rectángulo diminuto du por dv se aproxima por el paralelogramo tangente de lados Xᵤdu y Xᵥdv. Su área es √(EG−F²)du dv. Si F≠0, multiplicar solo las longitudes de los lados exageraría el área porque ignoraría el ángulo. Al integrar sobre una carta sin solapamientos obtenemos el área del parche.
Un dominio de área uno produce área dos
Integra sobre 0≤u,v≤1 en el plano oblicuo.
Determinante
EG−F²=4·2−4=4.Factor
√4=2, constante.Área
∫₀¹∫₀¹2du dv=2.
El paralelogramo del dibujo tiene área dos.
El producto de longitudes 2√2 sería mayor; el seno de π/4 lo reduce a dos.
Área de una franja cilíndrica
X(u,v)=(3cos u,3sen u,v), 0≤u≤π, 0≤v≤2.
Métrica
E=9,F=0,G=1.Factor de área
√(9·1)=3.Integral
Área=3·π·2=6π.
Media vuelta de altura dos tiene área 6π.
Su ancho desarrollado es la media circunferencia 3π, por altura dos. No se añadió el área de tapas, que no forman parte del parche lateral.
5. La segunda forma extrae la aceleración que apunta fuera del plano tangente
Al derivar γ=X(u,v) dos veces aparecen también Xᵤu″ y Xᵥv″, pero su producto con n es cero porque son tangentes.
La aceleración normal es e(u′)²+2fu′v′+g(v′)². Si la velocidad no es unitaria, dividimos por su norma al cuadrado: kₙ(w)=wᵀIIw/(wᵀIw), para w no nulo. Así la curvatura normal depende de la dirección de la trayectoria y no de la rapidez con que se recorre.
Dirección circular y vertical en el cilindro
Usa radio tres y normal exterior.
Derivadas segundas
Xᵤᵤ=(−3cos u,−3sen u,0); las otras son cero.
Segunda forma
e=−3,f=g=0.Dos direcciones
Para w=(1,0), kₙ=−3/9=−1/3.Para w=(0,1), kₙ=0.
El cilindro se dobla al rodearlo y no al avanzar por una generatriz.
El signo negativo corresponde a la normal exterior y a la convención S=−dn.
Una dirección oblicua combina ambos efectos
En ese cilindro toma w=(1,1).
Numerador
wᵀIIw=−3.Denominador
wᵀIw=9+1=10.Cociente
kₙ=−3/10.Para 2w, ambos términos se multiplican por cuatro y el cociente no cambia.
La dirección oblicua tiene curvatura normal entre −1/3 y cero.
Una curva más rápida con la misma dirección no cambia kₙ.
6. El operador de forma compara el cambio de normal con la métrica
El operador es autoadjunto para el producto escalar tangente, porque II es simétrica.
En la base Xᵤ,Xᵥ, su matriz es I⁻¹II. Si esa base no es ortonormal, la matriz puede no ser simétrica en el producto usual de coordenadas, aunque el operador sí sea autoadjunto en la métrica I. Por eso no usamos los autovalores de II sola salvo que I sea identidad.
La métrica cambia el valor leído de la segunda forma
Retoma el cilindro de radio tres.
Matrices
I=diag(9,1), II=diag(−3,0).Operador
I⁻¹II=diag(−1/3,0).Interpretar
Las curvaturas no son −3 y cero: hay que dividir por la escala de la dirección circular.
S distingue la curvatura de los coeficientes elegidos.
−1/3 tiene unidades de longitud inversa; −3 era un coeficiente ligado al parámetro angular.
Una matriz no simétrica que representa un operador autoadjunto
En un punto, I=[[1,1],[1,2]] e II=[[1,1],[1,3]].
Invertir
det I=1, así I⁻¹=[[2,−1],[−1,1]].Multiplicar
S=I⁻¹II=[[1,−1],[0,2]].Comprobar
IS=II es simétrica, por lo que SᵀI=IS.Sus autovalores son uno y dos.
La asimetría de esta matriz es un efecto de la base oblicua.
Los vectores propios (1,0) y (−1,1) son ortogonales en I: su producto métrico es cero.
7. Las curvaturas principales dan los extremos y combinan en K y H
Los autovalores k₁,k₂ de S son las curvaturas principales.
Elegimos una base principal ortonormal; para una dirección unitaria de ángulo θ con la primera, la fórmula de Euler es kₙ=k₁cos²θ+k₂sen²θ. Por eso los valores principales son los extremos del cociente normal.
Al invertir n se invierten II,S,k₁,k₂,H, pero K conserva su valor. Un resultado con signo exige declarar el lado normal elegido.
Un cuenco con dos direcciones de curvatura distintas
En el origen de z=(x²+2y²)/2 y normal hacia arriba.
Matrices
El gradiente es cero: I=identidad y II=diag(1,2).Principales
k₁=1,k₂=2; K=2,H=3/2.Diagonal unitaria
θ=π/4 da kₙ=1/2+2/2=3/2.
Todas las curvaturas normales están entre uno y dos.
Cambiar la normal da −1 y −2; H pasa a −3/2 y K sigue siendo dos.
Una silla tiene direcciones con curvatura normal cero
En el origen de z=x²−y² con normal superior.
Hessiana
II=diag(2,−2), I=identidad.Resumen
K=−4 y H=0.Dirección diagonal
θ=π/4 da kₙ=2/2−2/2=0.
H=0 no significa superficie plana.
Las direcciones de los ejes tienen curvaturas opuestas no nulas; la cancelación ocurre solo en el promedio o en ciertas direcciones.
8. En un gráfico, derivar la altura separa inclinación y doblamiento
En un punto crítico de h, el gradiente es cero: el plano tangente es horizontal, I es identidad y II coincide con la hessiana. Es una simplificación en ese punto, no una afirmación de que el gráfico sea plano o tenga métrica constante a su alrededor.
Un plano inclinado tiene métrica distinta de la identidad y curvatura cero
h(u,v)=u+2v.
Primeras derivadas
hᵤ=1,hᵥ=2: I=[[2,2],[2,5]].Segundas
Todas son cero, así II=0 y S=0.Geometría
Es el plano z=x+2y, con una escala de coordenadas distinta de la usual.
Métrica no identidad no implica curvatura.
EG−F²=10−4=6>0: el parche es regular a pesar de la inclinación.
Un plano tangente horizontal puede tocar una superficie curva
h(u,v)=(u²+2v²)/2 en (0,0).
Primeras
hᵤ=u,hᵥ=2v: ambas son cero en el origen.Tangencia
El plano tangente es z=0 y la métrica allí es identidad.Segundas
hᵤᵤ=1,hᵤᵥ=0,hᵥᵥ=2: la curvatura no se anula.
La primera aproximación plana no elimina el doblamiento de segundo orden.
En el eje x, la altura es u²/2; ya se separa del plano para todo u no nulo.
9. Cambiar coordenadas cambia matrices; doblar sin estirar cambia otra información
Para un cambio regular de parámetros con jacobiano J, las matrices pasan a JᵀIJ y JᵀIIJ si mantenemos la misma normal geométrica. Un vector de componentes nuevas w representa el antiguo Jw; al sustituir, longitudes y cocientes de curvatura coinciden. Los coeficientes aislados no son invariantes.
La primera forma describe la medición intrínseca. La segunda depende del modo de situarse la superficie en ℝ³ y de la orientación. Plano y cilindro pueden tener la misma primera forma local sin tener igual segunda forma. En superficies completas hay que enlazar cartas; la existencia de una normal continua global es una propiedad adicional, la orientabilidad.
La base oblicua explica la matriz anterior
Parte de I=identidad e II=diag(1,2); usa J=[[1,1],[0,1]].
Primera forma
JᵀJ=[[1,1],[1,2]].Segunda
Jᵀdiag(1,2)J=[[1,1],[1,3]].Invariantes
El operador nuevo tiene valores uno y dos, igual que antes, aunque las casillas hayan cambiado.
Son dos coordenadas del mismo doblamiento en ese punto.
El jacobiano tiene determinante uno y es invertible: no perdió direcciones.
Enrollar el plano sin estirarlo
X(u,v)=(3cos(u/3),3sen(u/3),v).
Medida
Xᵤ y Xᵥ son unitarios y perpendiculares: I=identidad.Doblamiento
Con normal exterior, II=diag(−1/3,0), mientras el plano tiene II=0.
Localidad
Restringimos u a un intervalo menor que una vuelta para no identificar puntos distintos.
Misma medida local de longitudes, distinta curvatura extrínseca.
La curvatura gaussiana de ambos es cero; la media es cero en el plano y −1/6 en el cilindro exterior.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un plano
X(u,v)=(u,v,0). Calcula E,F,G.
Derivar por u
Xᵤ=(1,0,0); v se mantiene constante.Derivar por v
Xᵥ=(0,1,0); u se mantiene constante.Comprobar regularidad
Xᵤ×Xᵥ=(0,0,1), no nulo.Dos normas
E=Xᵤ·Xᵤ=1, G=Xᵥ·Xᵥ=1.Cruce
F=Xᵤ·Xᵥ=0: las direcciones son perpendiculares.Reunir
I=E du²+2F du dv+G dv²=du²+dv².El factor de área es √(EG−F²)=1.
Primera forma du²+dv².
√(EG−F²)=√1=1, de modo que el área del parche coincide con el área de su dominio de parámetros.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un gráfico
X(u,v)=(u,v,u²+v²). Calcula E,F,G en (0,0).
Derivar antes de evaluar
Xᵤ=(1,0,2u), Xᵥ=(0,1,2v).Regularidad general
El producto (−2u,−2v,1) nunca es cero.
Calcular productos
E=1+4u², F=4uv, G=1+4v².Evaluar en (0,0)
E=1,F=0,G=1 y la primera forma allí es du²+dv².Plano tangente
En el origen las direcciones (1,0,0),(0,1,0) generan z=0: es horizontal.Precisar alcance
La normal superior es (0,0,1). La superficie sigue siendo curva: sus segundas derivadas verticales valen dos. El área local en ese punto tiene factor uno.
Plano tangente horizontal y métrica euclídea en ese punto.
El producto vectorial en el origen es (0,0,1), de norma uno, igual a √(EG−F²). El factor de área local allí es uno.
Los símbolos que hemos usado
- X(u,v)
- Parametrización local de una superficie mediante dos coordenadas reales.
- X_u,X_v
- Derivadas parciales que generan el plano tangente si son independientes.
- n
- Normal unitaria elegida, normalmente (X_u×X_v)/‖X_u×X_v‖.
- E,F,G
- Productos X_u·X_u, X_u·X_v y X_v·X_v de la primera forma.
- e,f,g
- Productos X_uu·n, X_uv·n y X_vv·n de la segunda forma.
- I_m,II_m
- Matrices [[E,F],[F,G]] y [[e,f],[f,g]]; I_m no designa aquí la matriz identidad.
- S=−dn
- Operador de forma que mide el cambio de la normal y cuyos autovalores son las curvaturas principales.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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