Curvas, curvatura y torsión

Una curva parametrizada γ(t) asigna una posición a cada valor de t. Su derivada γ′ es la velocidad: dirección y cambio por unidad de parámetro.

Una curva C¹ es regular en un intervalo si v nunca se anula.

La regularidad permite normalizar la velocidad y definir una dirección tangente. Una velocidad cero puede ser una parada del parámetro sobre una imagen suave; otras veces acompaña una singularidad de la imagen. Por eso no diagnosticamos la geometría mirando únicamente si una fórmula se hace cero.

En una curva regular definimos s(t)=∫ desde t₀ hasta t de v(u)du. Como ds/dt=v>0, la función es creciente e invertible localmente: podemos describir la posición mediante la distancia recorrida.

Al usar s, la velocidad tiene norma uno. Una reparametrización regular y monótona conserva la longitud del tramo correspondiente; si invierte la orientación, en la integral de longitud aparece el valor absoluto de su derivada.

La dirección tangente solo puede cambiar perpendicularmente a sí misma.

El círculo osculador tiene radio 1/κ y centro γ+N/κ: comparte punto, tangente y curvatura con la curva. No significa que ambas curvas coincidan en todo un tramo. Para κ=0, esta receta no selecciona una normal principal.

El primer término es aceleración tangencial y el segundo normal. Su separación explica por qué no usamos simplemente ‖γ″‖ como curvatura.

En γ′×γ″ el término paralelo desaparece y queda v³κ(T×N).

La fórmula también da cero en un punto regular con curvatura nula. Para una curva plana (x(t),y(t)), el numerador es |x′y″−y′x″|; quitar el valor absoluto definiría otra convención, la curvatura orientada.

El plano osculador pasa por γ y está generado por T,N; B es su normal.

Hay infinitas direcciones perpendiculares a T, pero N es una de ellas elegida por el cambio de tangente. El marco T,N,B se mueve con la curva. No se normaliza un producto vectorial nulo: si κ=0, este marco de Frenet deja de estar definido por la receta.

Por tanto es múltiplo de N.

El signo de τ conserva información del sentido espacial de ese giro.

Derivar T·N=0, N·B=0 y las normas unitarias produce las otras ecuaciones: Tₛ=κN y Nₛ=−κT+τB.

Su denominador exige curvatura no nula; no usamos un cociente 0/0 en una recta.

Si una curva está en un plano fijo, sus derivadas también están en las direcciones de ese plano y el producto triple es cero.

Recíprocamente, en un intervalo con κ>0 y τ=0, B es constante y d(γ·B)/ds=T·B=0: la curva permanece en un plano.

Trasladar o rotar no cambia κ ni τ. Una reflexión conserva normas y cambia el signo del producto triple: conserva κ e invierte τ. Invertir un parámetro regular cambia signos de derivadas de forma que esta convención de τ se conserva. Una ampliación de factor c>0 multiplica el numerador de κ por c² y su denominador por c³; así κ y, análogamente, τ se dividen por c.

Para un círculo de radio R, las derivadas dan v=R, producto vectorial de norma R² y producto triple cero.

El plano osculador coincide con el plano del círculo en todos sus puntos.

Para γ=(a cos t,a sen t,bt), con a>0, v=√(a²+b²), γ′×γ″=(ab sen t,−ab cos t,a²), cuya norma es a√(a²+b²). El producto triple es a²b.

La curvatura sola no determina la forma espacial de la trayectoria.

El orden de trabajo es: derivar la posición, comprobar v>0, calcular producto vectorial y después normalizar o dividir. La curvatura puede ser cero; la normal principal y la torsión de Frenet requieren además producto vectorial no nulo. Las identidades sen²t+cos²t simplifican normas, pero no borran condiciones.

Un valor límite finito de una fórmula en puntos cercanos no garantiza que el objeto se haya definido en el punto excluido. Puede existir otra elección de marco o una extensión justificada, pero hay que explicar qué se extiende y por qué. Esta distinción evita asignar automáticamente una normal o torsión a una inflexión.