Cónicas y cuádricas

Una ecuación cuadrática en el plano tiene forma ax²+Bxy+cy²+dx+ey+f=0.

Al multiplicar aparecen dos términos xy, uno por cada entrada fuera de la diagonal; por eso ponemos la mitad en cada una.

Los términos lineales y la constante también importan: conocer A no basta para saber qué puntos reales existen. En tres variables se procede igual, repartiendo cada coeficiente de xy,xz,yz entre dos casillas simétricas. Cualquier parte antisimétrica aportaría cero a zᵀAz, así podemos trabajar con una matriz simétrica.

El teorema espectral da una base ortonormal de autovectores de A.

Como Q es ortogonal, preserva distancias y ángulos.

También transformamos la parte lineal: si era bᵀz, ahora es (Qᵀb)ᵀw. No se cambia solo la matriz. Si queremos que el cambio sea una rotación propia, elegimos el signo de un autovector para que det Q=1; su dirección sigue siendo un eje principal válido.

Añadimos dentro del cuadrado exactamente lo que compensamos fuera. En varias direcciones diagonales repetimos el paso para cada coeficiente cuadrático no nulo.

Si una dirección tiene coeficiente cuadrático cero, la traslación no puede eliminar su término lineal: este puede producir una parábola o paraboloide. Si tampoco hay término lineal en esa dirección, queda una coordenada libre.

En x²/a²+y²/b²=1, con a≥b>0, los denominadores son cuadrados de longitudes. El mayor corresponde al eje mayor. Primero situamos el centro, después ±a sobre ese eje y ±b sobre el otro. La parametrización (a cos t,b sen t) recorre toda la curva.

La suma de distancias a ellos es 2a. Para verlo, la distancia al foco (c,0) en un punto de la elipse cumple d²=(a−cx/a)², y a−cx/a es positivo porque |x|≤a y c<a. El otro foco da a+cx/a; la suma es 2a.

Si a>b, las directrices son x=±a/e y la distancia a un foco es e veces la distancia a su directriz correspondiente. Si a=b tenemos circunferencia, focos coincidentes y e=0; no hay una directriz finita obtenida dividiendo por cero.

En x²/a²−y²/b²=1, a,b>0, el término positivo fija el eje horizontal de las dos ramas. Con y=0 obtenemos los vértices (±a,0); con x=0 no hay punto real. La caja auxiliar de semianchos a,b permite trazar las asíntotas y=±(b/a)x.

Los focos son (±c,0), ahora con c²=a²+b², de modo que e=c/a>1. La diferencia absoluta de distancias focales es 2a. En la rama x≥a, las distancias a los focos derecho e izquierdo son cx/a−a y cx/a+a; restarlas da 2a.

Las asíntotas no son ramas de la curva: satisfacen el nivel cero de la parte cuadrática y la hipérbola está en nivel uno. Al crecer |x|, |y|=(b/a)√(x²−a²) se acerca a (b/a)|x|; la diferencia tiende a cero por racionalización.

Fijamos un foco (p,0) y una directriz x=−p, con p distinto de cero.

Como ambos lados de la igualdad de distancias eran no negativos, la equivalencia no añade puntos extra.

El vértice está a mitad de camino entre foco y directriz: (0,0). El signo de p fija hacia dónde abre.

Su excentricidad es uno: las dos distancias son iguales. No es una curva central como la elipse o la hipérbola.

Tras quitar cruces y completar cuadrados, dos coeficientes del mismo signo pueden dar elipse, un punto o vacío según el nivel. Dos signos opuestos dan hipérbola si el nivel no es cero; si es cero, el polinomio se factoriza en dos rectas secantes.

Con una sola dirección cuadrática, un término lineal en la otra da parábola. Si no existe, puede haber dos rectas paralelas, una recta doble o vacío. El discriminante B²−4ac orienta sobre la parte cuadrática, pero no decide por sí solo estas degeneraciones ni si existen puntos reales.

En tres dimensiones, x²/a²+y²/b²+z²/c²=1, con parámetros positivos, es un elipsoide. A una altura fija z, queda una elipse si |z|<c, un punto si |z|=c y nada si |z|>c. Así vemos que la superficie es acotada.

Con dos signos positivos y uno negativo igualados a uno aparece un hiperboloide de una hoja: cada altura da una elipse no vacía. Con un positivo y dos negativos aparece uno de dos hojas, separado por una zona sin puntos. Al igualar una forma indefinida a cero obtenemos un cono; el origen es su vértice singular.

En z=x²/a²+y²/b², el término lineal z permite despejar la altura: es un paraboloide elíptico. El corte z=h es elipse para h>0, punto para h=0 y vacío para h<0. Cambiar un signo da z=x²/a²−y²/b², un paraboloide hiperbólico con aspecto de silla.

Si una coordenada no interviene, cada punto de la curva plana puede moverse libremente en esa dirección: se forma un cilindro. No siempre es circular. Puede ser elíptico, hiperbólico o parabólico. Los casos degenerados pueden dar planos, pares de planos, rectas, puntos o vacío; una ecuación de segundo grado no garantiza una superficie regular.

Después de clasificar una ecuación transformada, devolvemos sus elementos al sistema inicial. Si z=h+Qw, el centro es h y las columnas de Q indican las direcciones de sus ejes. Los extremos se obtienen como h más o menos un semieje por su dirección unitaria.

Comprobamos expandiendo o sustituyendo puntos especiales. Los semiejes son raíces positivas de los denominadores de la forma normalizada, no los coeficientes originales. Una gráfica es una ayuda; la clasificación algebraica debe justificar componentes, existencia y los casos que la ventana del dibujo no muestre.