Con k=9 en Bonnet–Myers, ¿cuál es la cota de diámetro?
Divide π por √9.
Se presupone una variedad completa conexa de dimensión n≥2 con Ric≥9(n−1)g, conforme al teorema.
Bonnet–Myers da diam M≤π/3; esa es la cota pedida.
¿R² euclídeo es completo? Responde sí/no.
Las sucesiones de Cauchy convergen por coordenadas.
Si una sucesión de vectores en R² es de Cauchy en la norma euclídea, cada una de sus coordenadas es de Cauchy en R.
La completitud de R produce límites a y b para ambas coordenadas.
La sucesión de vectores converge a (a,b)∈R², pues la suma de cuadrados de las diferencias tiende a cero. La respuesta es sí.
¿Todo espacio riemanniano completo es compacto? Responde sí/no.
Usa R como contraejemplo.
R con la métrica euclídea es completo, por completitud de los números reales.
La función distancia a 0 toma valores arbitrariamente grandes, por lo que R no es acotado.
Todo espacio métrico compacto es acotado; R no es compacto. Por este contraejemplo, la respuesta es no.
Explica por qué el disco abierto con métrica euclídea es incompleto.
Acércate radialmente a su frontera.
En el disco unidad toma pₙ=(1−1/(n+2),0), todos situados sobre el radio interior.
Es una sucesión de Cauchy para la distancia riemanniana euclídea del disco, que coincide con la distancia de R² porque el disco es convexo.
En R² converge a (1,0), situado en la frontera excluida. Por unicidad del límite no tiene límite en el disco, que resulta incompleto.
Enuncia con cuidado una consecuencia de Hopf–Rinow para dos puntos.
Incluye conexidad y dimensión finita.
Sea M una variedad riemanniana suave, conexa, sin borde, de dimensión finita y completa para su distancia riemanniana.
Hopf–Rinow garantiza que para cada p,q∈M existe una geodésica desde p hasta q cuya longitud es d_g(p,q).
La conclusión es existencia de una minimizante. No asegura unicidad: en la esfera redonda, distintos semicírculos máximos unen los mismos puntos antipodales con la misma longitud mínima.