Una geodésica puede terminar en tiempo finito porque al espacio le falta un punto. La completitud evita ese tipo de escape y conecta distancia, ecuaciones y compacidad de bolas. Después veremos qué añaden las cotas de curvatura. Trabajamos con variedades riemannianas suaves, conexas, de dimensión finita y sin borde; para Bonnet–Myers, n≥2.
Si necesitas repasar:
1. Completo en distancia y completo para geodésicas son definiciones distintas
Una sucesión es de Cauchy si sus términos acaban estando arbitrariamente cerca entre sí. Un espacio métrico es completo cuando cada sucesión de Cauchy tiene límite dentro de él. No basta con que converja en un espacio mayor.
Completitud geodésica significa que toda geodésica maximal con parámetro afín está definida para todos los tiempos reales. La primera definición habla de límites y la segunda de prolongar soluciones. Hopf–Rinow las relacionará bajo las hipótesis riemannianas fijadas.
Una sucesión puede acercarse entre sí y perder su límite
M=(0,1) con distancia usual, x_j=1/(j+2).
Dentro
Para j≥0, todos los términos pertenecen al intervalo.
Cauchy
Convergen a cero en R y |x_j−x_m|≤x_j+x_m→0.Falta
Cero no está en M; la sucesión no tiene límite allí. El intervalo es incompleto.
Se comprueba tanto que la sucesión pertenece al espacio como que su límite no pertenece.
No se utiliza una sucesión con términos fuera del intervalo.
La misma falta aparece en una geodésica
En (0,1), γ(t)=1/2−t.
Ecuación
La métrica usual tiene Γ=0 y γ″=0.Dominio
Mientras −1/2<t<1/2, la curva está en M.Final
Al acercarse t a 1/2 llega al punto excluido cero; no se puede prolongar como esa solución dentro de M.
Es geodésicamente incompleto.
Cambiar de parámetro para tardar infinitamente ya no preservaría el parámetro afín.
2. Hopf–Rinow convierte las dos definiciones en condiciones equivalentes
Para una variedad con las hipótesis de la introducción son equivalentes: completitud métrica, completitud geodésica, que exp_p esté definida en todo T_pM y que todo subconjunto cerrado y acotado sea compacto. Es el teorema de Hopf–Rinow.
Cuando se cumplen, cualquier par de puntos se une por una geodésica minimizante. Es existencia, no unicidad; tampoco dice que cualquier geodésica elegida minimice. Las equivalencias no se trasladan sin revisión a espacios métricos arbitrarios o dimensión infinita.
Completo no significa compacto
M=R² euclídeo.
Cauchy
Cada coordenada de una sucesión de Cauchy converge en R; el par converge en R².
Bolas
Las bolas cerradas son compactas por Heine–Borel.
Espacio entero
R² no es acotado y no es compacto, aunque sea completo.
Hopf–Rinow habla de subconjuntos que son cerrados y acotados.
No se omite la condición acotado al aplicarlo a todo M.
Existencia no es unicidad
Esfera redonda y puntos antipodales.
Completitud
La esfera es compacta y por tanto completa.
Minimizantes
Todos los semicírculos máximos entre los dos puntos miden πR.
Distinción
Hay infinitas minimizantes; el teorema no elige una única.
La topología y la curvatura permiten varios caminos mínimos.
Las vueltas adicionales siguen siendo geodésicas, pero ya no minimizan.
3. La longitud controla sucesiones, y la exponencial controla las bolas
Si una geodésica de rapidez c llegara a un tiempo final b finito, d(γ(s), γ(t))≤c|s−t|.
La completitud aporta p∈M; en una carta pequeña con cierre compacto alrededor de p, la métrica controla la velocidad y los Γ controlan la aceleración. Así también existe una velocidad límite y la ecuación local prolonga la solución.
En la otra dirección global, el teorema construye minimizantes. Entonces la bola métrica cerrada de radio r alrededor de p es la imagen por exp_p de la bola cerrada de radio r en T_pM. Esta última es compacta por dimensión finita; continuidad de exp_p da la compacidad.
Son los puentes de la demostración, no una sustitución de toda su prueba.
La bola de tangentes produce una bola métrica en el plano
p=0 en R².
Exponencial
exp₀(v)=v.Bola tangente
||v||≤r es un disco cerrado compacto.Imagen
Da exactamente la bola métrica cerrada de radio r. Aquí la construcción se ve sin coordenadas curvadas.
La compacidad pasa por una aplicación continua.
En una variedad completa la exponencial no necesita ser inyectiva para este argumento.
Tener minimizantes entre todos los pares no implica completitud
Disco euclídeo abierto.
Dos puntos
El segmento recto entre ellos queda dentro del disco por convexidad.
Mínimo
Ese segmento minimiza la longitud.
Fallo
Una sucesión radial puede converger a la circunferencia excluida. El disco es incompleto.
La existencia de minimizantes es una consecuencia de Hopf–Rinow, no una equivalencia aislada enunciada aquí.
Este contraejemplo impide invertir una flecha que el teorema no dio.
4. Cambiar la métrica puede alejar infinitamente los extremos del mismo intervalo
Con 
la longitud pesa mucho más al acercarse a los extremos.
Ese cambio lleva todo (0,1) a R y transforma g en dy²: es una isometría con un espacio completo. Su inversa x=eʸ/(1+eʸ) muestra que ningún punto finito de la recta se pierde. El conjunto es el mismo; la distancia cambió.
Calcular una distancia con la nueva métrica
Entre x=1/4 y x=3/4.
Transformar
y(1/4)=−log3 y y(3/4)=log3.Distancia
La distancia en y es 2log3.
Comparar
Con dx² la distancia era 1/2. No se conserva esa distancia al cambiar g.
La fórmula de la isometría da una distancia exacta.
Se usa el logaritmo natural, cuya derivada es 1/x.
Ver por qué cero ya no se alcanza en longitud finita
Desde x=1/2 hasta x=ε>0.
Referencia
y(1/2)=0.Longitud
Para ε<1/2, la distancia es log((1−ε)/ε).Límite
Tiende a infinito cuando ε→0.La geodésica unitaria x(t)=eᵗ/(1+eᵗ) queda dentro para todo t real.
Los extremos no se añadieron: quedaron a distancia infinita.
La completitud no depende del aspecto de intervalo acotado en el dibujo.
5. Bonnet–Myers necesita una cota positiva uniforme de Ricci
Usamos Ricci sin normalizar. Si M es completa, n≥2 y 
para todo vector y una constante k>0, Bonnet–Myers da diam M≤π/√k. Hopf–Rinow implica entonces que M es compacto. Su grupo fundamental es finito, aplicando el mismo control al recubrimiento universal.
La desigualdad es uniforme en puntos y direcciones.
En dimensión mayor, sec≥k implica esa cota de Ricci al sumar n−1 planos; una cota de la suma no impone la misma cota a cada término.
Identificar k antes de sacar la raíz
Ric≥4(n−1)g en una variedad completa del marco fijado.
Comparar
El coeficiente corresponde a (n−1)k con k=4.Raíz
√k=2.Diámetro
diam M≤π/2; además M es compacta y su grupo fundamental finito.
La raíz se toma de k, no de 4(n−1) como si el factor dimensional no existiera.
Se comprobaron completitud, dimensión y positividad uniforme.
La esfera redonda alcanza la cota
Radio R, sec=1/R².
Ricci
Ric=(n−1)g/R²; podemos usar k=1/R².Cota
π/√k=πR.Distancia real
Los antipodales están a distancia πR, así que su diámetro es exactamente la cota.
No se puede mejorar universalmente ese factor π.
El diámetro intrínseco no es el segmento ambiente 2R.
6. El seno explica de dónde sale la constante π de la cota
Si hubiese una minimizante unitaria de longitud L>π/√k, tomamos campos normales paralelos E₂,…, E_n y Vᵢ=sin(πt/L)Eᵢ, que se anulan en los extremos. La forma de índice de una minimizante debe ser no negativa: 
.
Sumar sobre las n−1 direcciones y usar la cota de Ricci da 
.
Es el mecanismo de la prueba; la segunda variación y su positividad son resultados previos explícitos.
Calcular las integrales del campo de prueba
f(t)=sin(πt/L).
Derivada
f′=(π/L)cos(πt/L).Cuadrados
∫₀ᴸf²dt=L/2 y ∫₀ᴸ(f′)²dt=π²/(2L).Índice
Cada dirección del modelo aporta π²/(2L)−kL/2; al sumar aparece n−1.
La cota se obtiene comparando energía de cambio y curvatura.
Los valores extremos de f son cero.
Una longitud demasiado grande vuelve negativo el resultado
k=1 y supuesta minimizante de longitud L=2π.
Cociente
π²/L²=1/4.Signo
π²/L²−k=−3/4.Contradicción
El factor (n−1)L/2 es positivo y la suma de índices sería negativa; una minimizante no puede tener esa longitud.
El argumento descarta la minimización, no la existencia de geodésicas largas.
En la esfera una geodésica puede durar indefinidamente dando vueltas.
7. Las cotas seccionales comparan separación; la topología decide la unicidad global
Cartan–Hadamard afirma: si M es completa, simplemente conexa y sec≤0, exp_p: T_pM→M es un difeomorfismo. Cada par de puntos tiene una única geodésica minimizante. Sin simple conexidad, esta conclusión se aplica al recubrimiento universal, no automáticamente a M.
Rauch compara campos normales de Jacobi con los mismos datos iniciales. Una cota superior sec≤k hace que un campo J con J(0)=0 y ||D_tJ(0)||=1 tenga ||J(t)||≥sn_k(t), antes del tiempo conjugado del modelo.
Un toro plano muestra la necesidad de simple conexidad
T²=R²/Z² con métrica plana.
Hipótesis presentes
Es compacto, completo y tiene sec=0.Dos caminos
De la clase (0,0) a la clase (1/2,0), los segmentos horizontales de longitud 1/2 hacia derecha e izquierda proyectan a dos minimizantes.
Hipótesis ausente
No es simplemente conexo. En su recubrimiento R² sí existe una única recta entre dos puntos fijados.
Curvatura no positiva por sí sola no da unicidad global.
Los extremos levantados en R² deben fijarse, no intercambiarse por traslaciones.
Revisar el sentido de Rauch con modelos conocidos
Comparar plano sec=0 con modelo k=1, para 0<t<π.
Cota
El plano satisface sec≤1.Campos
En el plano j=t; en el modelo esférico j=sin t.Desigualdad
t≥sin t, de acuerdo con ||J||≥sn₁.Una cota superior seccional no daría aquí el signo contrario.
Menor curvatura permite mayor separación con esos datos iniciales.
La comparación usa campos y parámetros normalizados, no solo dos dibujos de curvas.
8. Bishop–Gromov compara volumen con una cota inferior de Ricci
Si M es completa y Ric≥(n−1)kg, el cociente Vol(B(p, r))/v_k(r) es no creciente, donde v_k es el volumen de la bola del modelo de curvatura constante k. Para k≤0 se consideran radios positivos; para k>0 formulamos la comparación en 0<r<π/√k.
El cociente tiende a uno en r→0, así que Vol(B(p, r))≤v_k(r). En particular Ric≥0 implica Vol(B(p, r))≤ω_n rⁿ y el cociente con rⁿ no aumenta. Es una cota inferior de Ricci, distinta de la cota superior seccional del ejemplo de Rauch.
La bola euclídea coincide exactamente con su modelo
Rⁿ euclídeo, k=0.
Volumen
Vol(B(p, r))=ω_n rⁿ.Cociente
Dividir por v₀(r) da uno para cualquier r>0.Monotonía
Es constante, compatible con no creciente.
La desigualdad admite igualdad.
No creciente no significa que tenga que disminuir estrictamente.
Comparar una esfera unidad con el modelo euclídeo
En dimensión dos, la esfera tiene Ric=g≥0.
Bola esférica
Para 0<r<π, su área es 2π(1−cos r).Radio π/2
Dividir por πr² da 8/π².
Radio acercándose a π
El cociente tiende a 4/π², menor. Ambos son menores que uno, como exige la comparación con Ric≥0.
Se usa una cota más débil, cero, para comparar con el plano.
Con k=1 la esfera coincide con su modelo y el cociente sería uno.
9. Una hipótesis ausente puede cambiar por completo la conclusión
Curvatura positiva en cada punto no garantiza una constante k>0 válida en todo el espacio. El paraboloide z=x²+y² con métrica inducida es completo y no compacto, con K=4/(1+4r²)²>0 que tiende a cero. No cumple el umbral uniforme positivo de Bonnet–Myers.
Tampoco curvatura acotada implica completitud: el disco euclídeo abierto tiene curvatura cero y puntos que faltan a distancia finita. Antes de aplicar una comparación se fija la métrica, se revisa completitud, tipo y sentido de la cota, dimensión y restricciones de radio.
El paraboloide no contradice Bonnet–Myers
z=x²+y².
Curvatura
Para una gráfica, K=det(Hess f)/(1+||∇f||²)²; aquí da 4/(1+4r²)².
Valores
En r=0 vale cuatro; en r=1 vale 4/25; al crecer r tiende a cero.
Global
La gráfica es un submanifold cerrado de R³ y su métrica inducida es completa, pero es no compacta.
Falta una cota K≥k>0 uniforme.
Ser positiva no equivale a estar separada uniformemente de cero.
No se escoge k=4 usando solo el valor en el vértice.
Una cota perfecta de curvatura no rellena un hueco
Disco abierto euclídeo y puntos p_j=(1−1/(j+2),0).
Curvatura
Es cero en todos sus puntos.
Cauchy
Los p_j se acercan a (1,0) y sus distancias mutuas tienden a cero.
Frontera
El límite no pertenece al disco. No se puede usar una conclusión que exige completitud.
La comprobación de completitud debe hacerse antes de la cota de curvatura.
Las distancias son euclídeas porque el disco es convexo.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Detectar incompletitud
Muestra que (0,1) con distancia usual no es completo.
Espacio
(0,1) con distancia usual.
Elegir sucesión
x_j=1/(j+2), con j≥0; todos sus términos están entre cero y uno.
Cauchy
En R converge a cero; además |x_j−x_m|≤x_j+x_m, que tiende a cero con ambos índices.
Límite ambiente
El único límite posible en R es cero.
Falta
Cero no pertenece a (0,1), por lo que no hay límite en el espacio.
Conclusión
Existe una sucesión de Cauchy sin límite dentro: el intervalo abierto es incompleto.
El intervalo abierto es incompleto.
Todos sus términos sí pertenecen al intervalo.
EJEMPLO RESUELTO 2
Cota de diámetro
Para una variedad riemanniana completa conexa de dimensión n≥2 con Ric≥4(n−1), aplica Bonnet–Myers.
Marco
Variedad suave, conexa, completa, de dimensión finita n≥2 y sin borde.
Cota
Se interpreta Ric≥4(n−1)g como desigualdad de formas cuadráticas en todos los puntos.
Constante
Comparar con Ric≥(n−1)kg da k=4>0.Aplicar
Bonnet–Myers asegura diam M≤π/√k.Calcular
√4=2; por tanto diam M≤π/2.Control
La positividad debe ser uniforme y la completitud es necesaria para esta aplicación.
El diámetro no supera π/2.
Se han usado n≥2, k>0 y completitud.
Los símbolos que hemos usado
- d_g
- Distancia definida como ínfimo de longitudes de curvas entre dos puntos.
- Completo
- Todo sucesión de Cauchy para d_g converge a un punto de la propia variedad.
- Geodésicamente completo
- Cada geodésica con parámetro afín se prolonga a todo t∈R.
- expₚ
- Aplicación exponencial, expₚ(v)=γᵥ(1) para la geodésica con datos iniciales p,v cuando existe hasta tiempo uno.
- Ric≥(n−1)kg
- Ric(v,v)≥(n−1)k·g(v,v) para cada punto y cada vector tangente; k es una constante global.
- sec
- Curvatura seccional, definida sobre cada plano tangente bidimensional.
- diam M
- Supremo de las distancias d_g(p,q) entre puntos de M.
- v_k(r)
- Volumen de una bola de radio r en el modelo simplemente conexo de dimensión n y curvatura seccional constante k.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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