¿Cuál es la curvatura gaussiana del plano euclídeo?
La conexión es plana.
En coordenadas cartesianas de la métrica euclídea, los coeficientes Γ son cero.
La fórmula de R solo contiene derivadas de Γ y productos de Γ, de modo que R se anula.
La curvatura gaussiana es una evaluación de ese tensor en una base ortonormal; por tanto K=0.
¿Cuál es K para una esfera de radio 4?
Usa 1/R².
La esfera es redonda y tiene radio R₀=4, así que se aplica K=1/R₀².
Un círculo máximo de radio 2 recorre ángulo π. ¿Qué longitud tiene?
Usa Rθ.
El círculo máximo tiene el mismo radio que la esfera, R₀=2.
Se obtiene 2π, la mitad de la circunferencia 4π del círculo.
Prueba que una recta a velocidad constante es geodésica en Rⁿ.
Usa coordenadas cartesianas.
Para γ(t)=a+tv, la velocidad es el vector constante v y la segunda derivada es cero.
Por ello Dₜγ̇=γ̈=0; la parametrización a velocidad constante es geodésica.
Explica por qué dar una vuelta completa por un círculo máximo no minimiza distancia entre sus extremos.
Los extremos coinciden.
Un círculo máximo completo tiene longitud 2πR₀, positiva porque R₀>0.
Después de la vuelta, el punto final coincide con el inicial.
La distancia de ese punto consigo mismo es cero, alcanzada por la curva constante. Por tanto la vuelta no minimiza globalmente, aunque cada tramo suficientemente corto sea geodésico minimizante.