En el plano, avanzar sin acelerar dibuja una recta. Sobre una esfera, la aceleración ambiente puede apuntar al centro y aun así no haber aceleración tangente. Desde esa diferencia construiremos la ecuación geodésica, la curvatura y los campos que miden la separación de geodésicas. Usamos Levi–Civita y fijamos el signo que hace positiva la esfera.
Si necesitas repasar:
1. Una geodésica transporta paralelamente su propia velocidad
Una curva con parámetro afín es geodésica si D_tγ′=0. En coordenadas: 
. Es una ecuación de segundo orden; punto inicial y velocidad determinan una solución local única.
Un cambio afín de parámetro conserva la ecuación. Una reparametrización arbitraria puede conservar el recorrido y dejar de satisfacerla.
Resolver en el plano cartesiano
γ(0)=(1,−2), γ′(0)=(3,1).
Conexión
Los símbolos son cero, así que γ″=0.
Integrar
γ′=(3,1) y γ(t)=(1+3t,−2+t).Rapidez
Es raíz de diez, constante.
La recta aparece como solución de la ecuación, no como una definición aplicable a toda variedad.
El vector inicial fija también la velocidad, no solo el camino.
El mismo recorrido puede tener un parámetro no afín
η(t)=(t²,0), t>0.
Camino
Está sobre el eje horizontal.
Derivar
η′=(2t,0) y η″=(2,0)≠0.Interpretar
No es geodésica afín en ese parámetro.
Con s=t² se escribe (s,0), que sí lo es.
Recorrido y parametrización son datos distintos.
El cambio s=t² es regular en t>0, pero no es un cambio afín.
2. En una superficie solo cuenta la parte tangente de la aceleración
Para una superficie de R³ con métrica inducida, D_tγ′ es la proyección tangente de γ″. Por tanto γ″ puede ser no nula y normal a la superficie, sin impedir que γ sea geodésica.
En una esfera redonda, la normal apunta radialmente. Los círculos máximos a rapidez constante tienen aceleración radial y son geodésicos. Los paralelos distintos del ecuador tienen una componente tangente que no se anula.
Comprobar un círculo máximo de radio R
γ(t)=R(cos(t/R), sin(t/R),0).
Velocidad
γ′=(−sin(t/R), cos(t/R),0), de norma uno.Aceleración
γ″=−γ/R², radial.Proyección
El radial es normal a la esfera, así que D_tγ′=0.
Es una geodésica aunque su aceleración ambiente no sea cero.
El círculo está en un plano que pasa por el centro.
Un paralelo fuera del ecuador no pasa la misma prueba
Esfera unidad: γ(t)=(a cos t, a sin t, c), a²+c²=1 y 0<|c|<1.
Aceleración
γ″=(−a cos t,−a sin t,0).Normal
La dirección normal es γ, cuya tercera componente c no es cero.
Comparar
γ″ no puede ser múltiplo de γ: su tercera componente obligaría al múltiplo cero, pero γ″≠0. Queda componente tangente.
Ese paralelo no es geodésico con rapidez constante.
Para c=0 se recupera el ecuador y la conclusión cambia.
3. Ser crítico para energía no equivale a minimizar globalmente
En una variación con extremos fijos, la primera variación de energía es −∫g(V, D_tγ′)dt. Así las geodésicas son exactamente los puntos críticos de energía.
En un intervalo de duración T, Cauchy–Schwarz da L²≤2TE, con igualdad para rapidez constante. Localmente existen entornos convexos donde una geodésica corta es la única minimizante. La conclusión local no hace mínima toda prolongación de la curva.
Cambiar la velocidad aumenta energía sin cambiar longitud
Entre cero y uno en R, duración uno: γ(t)=t y η(t)=t².
Longitudes
Ambas recorren de cero a uno sin retroceder, con L=1.
Energías
E(γ)=1/2; E(η)=(1/2)∫₀¹4t²dt=2/3.Desigualdad
Solo la velocidad constante alcanza L²=2E=1.
La energía detecta la parametrización que la longitud ignora.
Se comparan curvas en el mismo intervalo de tiempo.
Un círculo máximo completo es crítico, pero no mínimo entre sus extremos
Dar una vuelta de radio R.
Ecuación
El movimiento a rapidez constante sigue siendo geodésico.
Longitud
La vuelta mide 2πR y termina donde empezó.
Comparar
La curva constante entre ese mismo punto y él mismo tiene longitud cero.
La ecuación geodésica no garantiza minimización global.
No se concluye que todo tramo corto de la vuelta deje de minimizar.
4. La curvatura compara dos órdenes de derivación y corrige el corchete
Fijamos ![R(X, Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X, Y]}Z](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-dea8ff6379a3.svg)
. El último término corrige que X, Y puedan no conmutar. Tras aplicar Leibniz, las derivadas de escalares se cancelan y el resultado depende solo de los valores de X, Y, Z en el punto.
Otros textos invierten el signo. Mantendremos esta convención y la fórmula seccional de modo que la esfera tenga curvatura positiva.
El plano tiene curvatura cero incluso para campos variables
Usar coordenadas cartesianas.
Derivada
∇_X Z es la derivada ordinaria direccional de sus componentes.
Conmutar
X(Y(Zᵏ))−Y(X(Zᵏ))=[X, Y](Zᵏ).Corregir
El tercer término resta exactamente eso; cada componente de R(X, Y)Z es cero.
La ausencia de curvatura es una cancelación completa, no solo elegir vectores constantes.
Con campos coordenados el corchete es cero, pero no se supone eso para todos los campos.
Omitir el corchete produciría una falsa curvatura
En R², X=∂ₓ, Y=x∂ᵧ, Z=y∂ₓ.
Dos órdenes
∇_X∇_Y Z=∂ₓ y ∇_Y∇_X Z=0.Corchete
[X, Y]=∂ᵧ; por tanto ∇_[X, Y]Z=∂ₓ.Restar
R(X, Y)Z=∂ₓ−0−∂ₓ=0.
El término corrector evita confundir bases móviles con curvatura.
El ejemplo ocurre en el plano euclídeo y se calcula con su conexión euclídea.
5. La curvatura seccional divide por el área al cuadrado del plano elegido
.El denominador es el área del paralelogramo al cuadrado; impide que cambiar la escala de u, v cambie K. En una superficie solo hay un plano tangente y se obtiene la curvatura gaussiana.
Con una base ortonormal, Ric(v, v)=∑ᵢg(R(eᵢ, v)v, eᵢ) y Scal=∑ⱼRic(eⱼ, eⱼ). Usamos Ricci sin dividir por n−1.
Una cota de Ricci no fija por separado cada curvatura seccional.
Reescalar una base no cambia la curvatura del plano
En curvatura constante κ, tomar u=2e₁ y v=3e₂ ortogonales.
Denominador
||u||²||v||²−⟨u, v⟩²=4·9=36.Numerador
La fórmula de curvatura constante da κ·36.
Cociente
K=36κ/36=κ, como con la base unitaria.
El denominador es parte esencial de la definición.
Usar solo el numerador daría un resultado dependiente de la escala.
Sumar planos para obtener Ricci y escalar
Espacio de dimensión tres con K≡1/4.
Ricci unitaria
Hay dos planos con un vector unitario dado: Ric(v, v)=2·1/4=1/2.
Forma
Ric=(1/2)g.Escalar
Se suman tres valores 1/2: Scal=3/2.
Los factores de dimensión vienen de las trazas.
No se confunden estas convenciones con las que promedian la traza.
6. La esfera permite calcular la curvatura y comprobar su escala
En una esfera redonda de radio R, la segunda forma fundamental es ±g/R, según la normal.
.Con w=v, el producto con u es R⁻² veces el denominador seccional; por ello K=1/R².
Si g se multiplica por c² constante, la conexión y R como operador no cambian. El producto del numerador se multiplica por c², y el denominador por c⁴: K se divide por c². Las longitudes, en cambio, se multiplican por c.
Duplicar el radio no divide la curvatura solo por dos
Esferas de radios uno y dos.
Inicial
K₁=1/1²=1.Nueva
K₂=1/2²=1/4.Comparar
Las longitudes se duplican y la curvatura se divide por cuatro.
La curvatura tiene unidades de longitud inversa al cuadrado.
El cambio de escala no altera el signo.
Comparar dos radios manteniendo el cálculo visible
R=3 y R=6.
Primera esfera
K=1/9.Segunda
K=1/36.Razón
(1/36)/(1/9)=1/4: volver a duplicar repite el mismo factor.
La regla de escalado coincide con el cálculo directo.
No se divide por el área total de la esfera; se usa el radio local del modelo redondo.
7. La distancia esférica usa el arco menor y el ángulo en radianes
Una geodésica esférica de rapidez uno tiene forma γ(t)=R(cos(t/R)u+sin(t/R)v), con u, v unitarios ortogonales. Un arco de ángulo central θ mide Rθ.
Para p, q en la esfera, 
, con ángulo entre cero y π. Puntos distintos no antipodales tienen un único arco menor minimizante; entre antipodales hay infinitos semicírculos minimizantes.
Calcular un cuarto de vuelta
Radio tres, ángulo π/2.
Unidad angular
π/2 radianes corresponde a un cuarto de vuelta.
Multiplicar
L=Rθ=3π/2.Control
La circunferencia completa mide 6π y su cuarta parte es 3π/2.
No se multiplica directamente por noventa sin convertir grados.
Es un arco máximo y su ángulo es menor que π, así que minimiza.
Los antipodales muestran por qué falla la unicidad
p=Ru, q=−Ru.
Producto
⟨p, q⟩/R²=−1.Ángulo
arccos(−1)=π, así que d=πR.Caminos
Cada plano por el eje de u produce un círculo máximo y un semicírculo minimizante; hay infinitas elecciones.
La completitud no obligará a que la minimizante sea única.
Un arco que supere πR ya no es el camino más corto entre sus extremos.
8. Un campo de Jacobi describe cómo se separan geodésicas próximas
Una variación por geodésicas da un campo J con 
. En rapidez uno y curvatura constante κ, una componente normal en una base paralela satisface j″+κj=0.
Con j(0)=0 y j′(0)=1, las soluciones son sin(√κt)/√κ si κ>0, t si κ=0 y sinh(√(−κ)t)/√(−κ) si κ<0. La comparación usa los mismos datos iniciales; cambiar la rapidez o el tamaño inicial cambiaría el gráfico.
Resolver en una esfera de radio dos
κ=1/4.
Ecuación
j″+(1/4)j=0.Solución
j(t)=2sin(t/2); j(0)=0 y j′(0)=1.Nuevo cero
El primer cero positivo está en t=2π=πR, el antipodal.
Las geodésicas vuelven a reunirse en el modelo esférico.
Después de ese punto, un signo negativo de j es orientación de una componente; la longitud de J es |j|.
Comparar plano y curvatura negativa
κ=0 y κ=−1, mismos datos iniciales.
Plano
j(t)=t.Negativa
j(t)=sinh t; su derivada inicial también es uno.Separación
Para t>0, sinh t>t y no vuelve a cero.La separación crece más en el modelo negativo.
El gráfico representa amplitudes de campos, no el dibujo de las trayectorias.
Se compara con igual parametrización y normalización inicial.
9. Curvatura intrínseca, aspecto exterior y minimización son preguntas diferentes
Un cilindro se curva en el espacio ambiente, pero al desplegarlo localmente se obtiene el plano sin distorsionar la métrica: su curvatura gaussiana es cero. Los símbolos pueden no ser cero en ciertas cartas incluso cuando R sí lo es.
También una geodésica puede seguir cumpliendo su ecuación después de dejar de minimizar. Las conclusiones globales necesitan controlar completitud, topología y puntos conjugados; esos son los datos del siguiente tema.
Desplegar un cilindro conserva la métrica plana
F(u, v)=(R cos(u/R), R sin(u/R), v).
Derivadas
F_u=(−sin(u/R), cos(u/R),0), F_v=(0,0,1).Productos
Ambas tienen norma uno y son ortogonales: la métrica es du²+dv².
Curvatura
Es localmente euclídea y K=0, aunque F_uu no se anule en R³.
La curvatura ambiente de una curva coordenada no es la gaussiana de la superficie.
La carta es local porque u y u+2πR describen el mismo punto.
La topología del cilindro introduce caminos largos geodésicos
En el desarrollo plano, γ(t)=(t,0).
Localmente
Es una recta de rapidez constante y su imagen en el cilindro es geodésica.
Una vuelta
Al llegar a t=2πR vuelve al punto inicial.Distancia
El recorrido mide 2πR, pero la distancia del punto consigo mismo es cero.
Incluso con curvatura cero una geodésica larga puede no minimizar.
No se atribuye el fallo a curvatura positiva: aquí viene del recorrido global.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Curvatura al escalar
Calcula la curvatura gaussiana de una esfera de radio 2.
Modelo
Esfera redonda de radio R=2 con métrica inducida.
Curvatura
La ecuación de Gauss da K=1/R².Sustituir
K=1/(2²).Cuadrado
2²=4, por tanto K=1/4.Escala
Desde la esfera unidad, el radio y las longitudes se duplicaron.
Comprobar
La curvatura se dividió por 2²=4, no por dos.
K=1/4.
Duplicar el radio divide la curvatura por cuatro.
EJEMPLO RESUELTO 2
Arco de un cuarto de vuelta
Halla la longitud del arco geodésico de ángulo π/2 en una esfera de radio 3.
Datos
Radio R=3 y ángulo central θ=π/2.Tipo de arco
Es un arco de círculo máximo, correspondiente a una geodésica.
Fórmula
La longitud es L=Rθ si θ está en radianes.Sustituir
L=3·π/2=3π/2.Circunferencia
La vuelta completa mide 2π·3=6π; un cuarto mide 6π/4=3π/2.Control
El ángulo es menor que π, de modo que el arco menor minimiza entre esos extremos.
Longitud 3π/2.
Es un cuarto de la circunferencia 6π.
Los símbolos que hemos usado
- (M,g)
- Variedad suave con métrica riemanniana, sin borde en los enunciados locales utilizados.
- ∇ y Dₜ
- Conexión de Levi–Civita y derivada covariante a lo largo de una curva.
- γ̇
- Vector velocidad de la curva γ con el parámetro elegido.
- L(γ)
- Longitud ∫||γ̇||dt, independiente de reparametrizaciones regulares crecientes.
- E(γ)
- Energía (1/2)∫||γ̇||²dt en un intervalo de parámetros fijado.
- R(X,Y)Z
- Tensor definido por ∇ₓ∇ᵧZ−∇ᵧ∇ₓZ−∇_[X,Y]Z.
- K(σ)
- Curvatura seccional de un plano tangente σ de dimensión dos; en superficies es gaussiana.
- Ric y Scal
- Contracciones de R: tensor de Ricci y curvatura escalar.
- R₀
- Radio positivo de una esfera redonda; se distingue del tensor R.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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