Si a=3x dy, ¿qué coeficiente multiplica dx∧dy en da?
Deriva 3x.
El coeficiente que multiplica dx∧dy es 3; no aparece signo negativo porque no se cambia el orden.
¿Cuánto vale d²χ para una función suave?
La derivada exterior al cuadrado es cero.
Una función suave χ es una forma de grado cero y dχ es una forma de grado uno.
La derivada exterior satisface d∘d=0 sobre todas las formas suaves.
Por tanto d²χ es la 2-forma cero y su valor pedido es 0; esta identidad explica la invariancia de da bajo a↦a+dχ.
¿Cuál es la dimensión real de U(1)?
Es la circunferencia.
Cerca de cualquier punto se puede elegir un intervalo angular y parametrizar por θ↦eⁱθ.
La derivada i eⁱθ es no nula, así que un parámetro real local basta y la dimensión real es 1.
Prueba que una curvatura abeliana F=da es cerrada.
Aplica otra derivada exterior.
En la notación real abeliana se define F=da para una 1-forma suave a.
Para conexiones generales la versión correcta es d_AF=0 y contiene términos de corchete.
Explica la diferencia entre gauge local y curvatura.
Compara descripción y cantidad geométrica.
Una sección local s fija una referencia en las fibras y produce el potencial A=s*ω; otra sección s h da A′=h⁻¹Ah+h⁻¹dh.
Para U(1), escribiendo A=i a y h=eⁱχ, esto se reduce a a′=a+dχ, de modo que la descripción cambia con la referencia.
En el caso no abeliano la curvatura se transforma por conjugación; además, incluso en el abeliano, la holonomía global puede contener información que la curvatura sola no determina.