Una referencia local permite escribir un vector o una conexión con números y matrices. Cambiar esa referencia cambia las fórmulas, pero debe conservar la geometría. Un fibrado principal organiza todas las referencias posibles. Construiremos sus reglas de pegado, el transporte y la curvatura, y calcularemos el caso U(1) con un signo de holonomía explícito.
Si necesitas repasar:
1. Una fibra se parece al grupo, pero no trae un neutro elegido
Un fibrado principal P→M tiene una acción derecha p↦pg del grupo G, libre y transitiva en cada fibra. Libre significa que pg=p obliga g=e; transitiva, que dados p, q en la misma fibra hay un g que los relaciona.
Localmente P se identifica con U×G de manera compatible con la acción. Una sección s elige una referencia en cada fibra y la identificación es (x, g)↦s(x)g. La fibra se llama torsor: tiene la simetría del grupo, sin un elemento identidad preferido.
Todas las bases de una recta forman una fibra de referencias
Una recta vectorial real L y G=R×.
Referencias
Cada vector p≠0 es una base de L.Acción
Multiplicar p por g≠0 produce otra base.Unicidad
Para q≠0 hay un único escalar g con q=pg.Elegir p como base etiqueta la fibra, pero no hay una base distinguida de antemano.
El grupo actúa sobre referencias; sus elementos no son los puntos de la base M.
El vector cero de L no es una referencia permitida.
Un producto es el ejemplo trivial
P=M×U(1), acción (x, z)h=(x, zh).
Libre
zh=z implica h=1 porque z es unidad.Transitiva
Para z, w de la misma fibra, h=z⁻¹w es la única solución.Sección
s(x)=(x,1) proporciona una referencia global.
Una sección global identifica todas las fibras de manera consistente.
En un fibrado no trivial puede haber secciones locales sin una global.
2. Las funciones de transición guardan el orden del pegado
=
en un solapamiento, entonces en un triple solapamiento 
=
.Es la condición de cociclo. Cambiar las secciones cambia las funciones de transición sin cambiar necesariamente el fibrado.
Un fibrado principal es trivial si y solo si admite sección global: una sección da (x, g)↦s(x)g y un producto tiene la sección de la identidad. La trivialidad local de la definición no asegura trivialidad global.
En un grupo no conmutativo no se invierte el orden
h₁₂=diag(2,1/2), h₂₃=[[1,1],[0,1]] en SL₂.
Pegado
h₁₃=h₁₂h₂₃=[[2,2],[0,1/2]].Orden contrario
h₂₃h₁₂=[[2,1/2],[0,1/2]], otra matriz.Referencia
El orden viene de s₃=(s₁h₁₂)h₂₃, no de una elección arbitraria.
El cociclo conserva el orden de la acción derecha.
Ambas matrices tienen determinante uno; eso no las hace iguales.
El fibrado de Hopf no admite sección global
S³→CP¹≅S², enviando (z₁, z₂) a su línea compleja.
Fibra
Multiplicar ambos z por la misma fase e^{iθ} conserva la línea y recorre la fibra U(1).
Si hubiera sección
El fibrado sería S²×S¹.
Obstrucción
S³ tiene grupo fundamental cero y S²×S¹ tiene Z; no pueden ser isomorfos ni homeomorfos.
El pegado puede guardar información global real.
La identificación de grupos fundamentales es el hecho topológico utilizado.
3. La conexión elige qué movimientos cuentan como horizontales
Los vectores verticales se mueven dentro de una fibra. Una conexión elige un complemento suave 
con 
=⊕
y dR_g()=
. Una dirección de la base tiene entonces un levantamiento horizontal único desde cada p.
Equivalentemente, una forma ω con valores en el álgebra de Lie satisface ω(
)=ξ para vectores fundamentales y 
=
. Su núcleo es el espacio horizontal. En U(1), localmente podemos escribir ω=i(dθ+a), con a real en la base.
Una dirección horizontal puede incluir cambio de fase
En el producto sobre R², a=xdy y ω=i(dθ+xdy).
Evaluar
Un vector (x′, y′, θ′) tiene ω=i(θ′+xy′).Horizontal
Se exige θ′=−xy′.Ejemplo
Sobre γ(t)=(t, t), θ′=−t y θ(t)=θ₀−t²/2.
Horizontal no significa que θ tenga que permanecer constante.
La elección de a fija cómo se compensa el movimiento de la base.
En la conexión producto no hay compensación adicional
a=0.
Forma
ω=i dθ.Horizontal
La condición es θ′=0.Transporte
Una fase inicial permanece constante en esta trivialización, para cualquier curva de la base.
Dos conexiones pueden elegir horizontales distintas sobre el mismo fibrado.
La forma dθ es local; la forma de Maurer–Cartan global del círculo da la descripción independiente de una rama.
4. Cambiar la sección añade la variación de la referencia
.El primer término cambia la base; el segundo deriva la referencia dependiente del punto.
En un fibrado asociado, la coordenada de un mismo vector cambia a v′=ρ(h)⁻¹v. La derivada D=d+
(A) cambia de manera compatible: en una representación matricial D′v′=h⁻¹Dv. Los potenciales no se pegan por igualdad ordinaria.
Una referencia variable crea un potencial sin crear curvatura
A=0 y h(x)=I+xE, E²=0.
Inversa
h⁻¹=I−xE.Derivar
dh=E dx, de modo que h⁻¹dh=E dx.Nuevo potencial
A′=E dx.Tiene dA′=0 y A′∧A′=0; sigue siendo plana.
Un potencial no nulo puede describir la misma conexión plana.
La condición E²=0 hace la inversa exacta.
Una referencia constante cambia por conjugación
h=diag(2,1/2), A=E dx+F dy con la base habitual de sl₂.
Sin derivada
dh=0.Conjugar
h⁻¹Eh=E/4 y h⁻¹Fh=4F.Resultado
A′=(E/4)dx+4Fdy.Se cambian coeficientes, conservando la geometría por el cambio de referencia.
El término derivado desaparece solo porque h es constante.
No se multiplican todas las entradas por un mismo escalar.
5. El levantamiento horizontal resuelve una ecuación en el grupo
Dado g inicial, esa ecuación fija el transporte de referencias. El orden del producto importa si G no es abeliano.
Para una representación ρ, el fibrado asociado impone (pg, v)∼(p, ρ(g)v).
(A).Así una conexión principal organiza el transporte de todos los objetos asociados a esa simetría.
Resolver una fase sobre una diagonal
U(1), A=i xdy, γ(t)=(t, t), g(0)=1.
Ecuación
g′=−it g.Integrar
g(t)=exp(−it²/2).Comprobar
Su derivada es −it por la misma exponencial y siempre tiene módulo uno.
La fase transportada conserva la norma en la representación unitaria.
El signo menos viene de D=d+i a.
Usar una conexión producto en dos representaciones
A=0 de U(1), caracteres ρ₁(z)=z y ρ₂(z)=z².
Álgebras
ρ₁*(ia)=ia y ρ₂*(ia)=2ia.Potencial cero
Ambas derivadas asociadas se reducen a d.
Paralelo
En las trivializaciones inducidas las coordenadas permanecen constantes, aunque los caracteres sean distintos.
La construcción principal se reutiliza en varios fibrados asociados.
Con a no nulo, los factores de fase sí serían diferentes.
6. La curvatura conserva el producto exterior y el conmutador de matrices
La curvatura local es F=dA+A∧A; en general el segundo término no desaparece.
Se interpreta como una 2-forma en la base con valores en el fibrado adjunto.
=dF+A∧F−F∧A=0, no dF=0 sin condiciones.Coeficientes constantes pueden producir curvatura no nula
A=E dx+F dy, con [E, F]=H.
Derivada
dA=0 porque los coeficientes son constantes.Producto
A∧A=(EF−FE)dx∧dy=Hdx∧dy.Gauge constante
Con h=diag(2,1/2), los factores E/4 y 4F dan el mismo conmutador H, coherente con h⁻¹Hh=H.
La no conmutatividad produce curvatura incluso sin derivadas de coeficientes.
No se simplifica A∧A a cero solo por usar una 1-forma matricial.
La identidad de Jacobi aparece dentro de Bianchi
A=E dx+F dy+H dz, constante en R³.
Curvatura
=Hdx∧dy−2E dx∧dz+2Fdy∧dz.Derivada
dF_A=0; el coeficiente restante de
es la suma de conmutadores cíclicos.Cancelar
[E,[F, H]]+[F,[H, E]]+[H,[E, F]]=2H−2H+0=0.
Bianchi conserva los signos del producto exterior.
Aquí la derivada ordinaria es cero por constancia, no como regla general.
7. En U(1) la conmutatividad simplifica la fórmula, pero no elimina el pegado
El álgebra de Lie de U(1) es iR.
Para h=e^{iχ} en una región con una función real χ, h⁻¹dh=i dχ y a′=a+dχ.
Al ser abeliano, F=i da y la curvatura real f=da queda igual: d(a+dχ)=da porque d²χ=0. La simplificación se debe al grupo y al cálculo exterior; no se suprimen por analogía los conmutadores de otros grupos.
Un cambio exacto modifica componentes y conserva curvatura
a=xdy, χ=xy.
Derivar función
dχ=y dx+xdy.Nuevo potencial
a′=y dx+2xdy.Curvatura
da′=dy∧dx+2dx∧dy=dx∧dy=da.
La igualdad exige conservar el signo dy∧dx=−dx∧dy.
Los potenciales son distintos y las curvaturas coinciden.
Un gauge global del círculo puede no tener un argumento global real
h=e^{imθ}, con m entero.
Bien definido
θ y θ+2π dan la misma fase si m∈Z.Forma
h⁻¹dh=im dθ es global aunque θ no lo sea como función real única.
Potencial
a=c dθ se transforma en (c+m)dθ.
La condición global añade enteros al cambio de referencia.
Tomar un m no entero no define ese gauge en todo el círculo.
8. La integral del potencial alrededor de un lazo produce una fase
Para D=d+i a, la holonomía de un lazo en una trivialización es exp(−i∮a).
Si el lazo bordea una superficie dentro de esa región, Stokes da exp(−i∫da). La orientación fija el signo de la integral. Cambiar a por a+dχ con χ real global no altera la integral cerrada.
Un rectángulo permite verificar Stokes por los lados
a=xdy, contorno positivo de [0, L]×[0, H].
Lados horizontales
dy=0 y no aportan integral.Verticales
A la derecha x=L y se sube H: aporte LH.A la izquierda x=0: aporte cero.Curvatura
∫dx∧dy=LH y la fase es exp(−iLH).
El cálculo de frontera coincide con el de área.
Invertir el recorrido cambia el signo y da la fase inversa.
El coeficiente de curvatura puede variar dentro
a=xy dx+x²dy sobre [0,2]×[0,1].
Curvatura
∂ₓ(x²)−∂ᵧ(xy)=2x−x=x; su integral es ∫₀²x dx=2.Frontera
Lado derecho aporta cuatro y el superior recorrido hacia la izquierda aporta −2; los otros aportan cero.
Fase
La integral total es dos y la holonomía exp(−2i).
Stokes no exige que la curvatura sea constante.
Se mantuvo la orientación positiva en los cuatro lados.
9. Una curvatura local no registra por sí sola toda la holonomía global
En el plano perforado, dθ=(−y dx+xdy)/(x²+y²) es una forma global cerrada. No es la derivada de una función real θ única en toda la región. La conexión a=c dθ tiene curvatura cero y holonomía exp(−2πic) alrededor del origen.
En un fibrado no trivial puede no existir un potencial global a en la base, aunque haya uno en cada carta. Las transiciones, la curvatura y los lazos globales conservan datos distintos. Las clases características del siguiente tema traducen parte de ese pegado a cohomología.
Una conexión plana con holonomía no trivial
a=(1/2)dθ en el plano perforado.
Curvatura
da=0.Una vuelta
∮a=(1/2)·2π=π.Holonomía
exp(−iπ)=−1, distinta de la conexión a=0.No son equivalentes por gauge global.
Misma curvatura no implica mismo transporte en todos los lazos.
La topología permite rodear un punto que no pertenece a la base.
Sumar un entero sí puede ser un cambio global de gauge
Comparar a=c dθ y a′=(c+2)dθ.
Gauge
h=e^{2iθ} está bien definido globalmente.Transformación
h⁻¹dh=2i dθ, así que da exactamente a′.Holonomía
exp(−2πi(c+2))=exp(−2πic).
La fase depende de c módulo enteros en esta familia.
No se necesita una función real 2θ global para que la fase h sea global.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Curvatura abeliana
En R², sea a=x dy. Calcula da.
Potencial
a=xdy es una 1-forma real sobre R².Producto exterior
d(xdy)=dx∧dy+x d(dy).Segunda derivada
d(dy)=0.Curvatura real
da=dx∧dy.Curvatura unitaria
Si A=ia, entonces F=i dx∧dy; no se confunden ambas convenciones.Comprobar
El coeficiente de dx∧dy es uno y la 2-forma es constante no nula.
da=dx∧dy.
Es una 2-forma constante no nula.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un cambio de gauge exacto
Compara a y a+dχ para χ=xy.
Cambio
a′=a+dχ con χ=xy.Función
dχ=y dx+xdy.Derivar otra vez
d²χ=dy∧dx+dx∧dy=0.Curvatura
da′=da+d²χ.Cancelar
Queda da′=da.Interpretación
Los potenciales difieren por una forma exacta y representan la misma curvatura; el signo exterior fue necesario para comprobarlo.
Ambos potenciales tienen la misma curvatura.
La diferencia es exacta.
Los símbolos que hemos usado
- π:P→M
- Fibrado principal suave con espacio total P, base M y grupo de Lie G actuando por la derecha en P.
- 𝔤
- Álgebra de Lie de G; para grupos matriciales el corchete es [A,B]=AB−BA.
- VₚP
- Espacio vertical ker(dπₚ), tangente a la fibra.
- ω
- Forma de conexión sobre P con valores en 𝔤.
- s:U→P
- Sección local: π∘s es la identidad de U.
- A=s*ω
- Potencial local de la conexión, una 1-forma en U con valores en 𝔤.
- F
- Curvatura local dA+A∧A en la convención matricial.
- h:U→G
- Cambio de sección s′=s h, llamado cambio local de gauge.
- a y χ
- Potencial real y función real usados para U(1) mediante A=i a y h=eⁱχ.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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